%bac2026gt-tech-poly-juin-sujet1-exo4
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4;6]$ par%
\[
  f(x) = -0{,}5x^2 + x + 7{,}5
\]
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction $f$ et sa tangente au point d'abscisse $3$ qui passe par les points de coordonnées $(3;6)$, $(4;4)$ et $(6;0)$.

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.6cm,Xmin=-4.5,Xmax=7,Xgrille=1,Xgrilles=0.5,Ymin=-4.5,Ymax=8.5,Ygrille=1,Ygrilles=0.5]<Theme=gris>
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-4,-3,...,6}{-4,-3,...,8}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-4,Fin=6]{-0.5*x^2+x+7.5}
  \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=-1,Fin=6.5]{-2*x+12}
  \MarquerPts*[Couleur=black,Style=x,Taillex=2.5pt]{(3,6),(4,4),(6,0)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-4;6]$,
  \[
    f(x) = (0{,}5x + 1{,}5)(-x + 5).
  \]

  \textit{Les justifications demandées pour les trois questions suivantes peuvent se faire par des calculs ou par des lectures graphiques.}

  \item Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $3$.

  \item Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  \begin{enumerate}
    \item \textbf{Affirmation a.} : Les solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant 0$ sur $[-4;6]$ sont les nombres réels appartenant à l'intervalle $[-3;5]$.
    \item \textbf{Affirmation b.} : $f'(x)$ est positive sur l'intervalle $[1;4]$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}