%bac2026gt-tech-ce-juin-sujet1-exo3.tex
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0;4]$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous. La droite $T$ est la tangente à la courbe au point d'abscisse $3$.

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.75cm,y=0.75cm,Xmin=-1,Xmax=5,Xgrilles=1,Ymin=-5,Ymax=5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{0,1,...,4}{-4,-3,...,4}
  \TracerCourbe[Couleur=blue,Fin=4]{-x^3+9*x^2-24*x+16}
  \TracerCourbe[Couleur=red]{3*(x-3)-2}
  \MarquerPts{(3,-2)/$A$/right}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(1,4)}{$\mathcal{C}_f$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(4.25,2.75)}{$T$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

\begin{enumerate}
  \item Par lecture graphique, déterminer :

  \begin{enumerate}
    \item L'image de $3$ par la fonction $f$.

    \item Le nombre dérivé $f'(3)$.
  \end{enumerate}

  \item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;4]$ par :%
  \[f(x) = -x^3 + 9x^2 - 24x + 16.\]%

  \begin{enumerate}
    \item Calculer $f(0)$.

    \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;4]$, en détaillant les calculs.

    \item Vérifier que pour tout réel $x$, $f'(x) = -3(x-2)(x-4)$.

    \item Étudier le signe de $f'(x)$ et établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0;4]$, en y faisant figurer les extrémums.

    \item Quel est le minimum de la fonction $f$ sur $[0;4]$ ? En quelle valeur est-il atteint ?

  \end{enumerate}
\end{enumerate}