%bac2026gt-spec-ce-juin-sujet1-exo2.tex
Un maire souhaite végétaliser sa ville. Pour cela, il décide de planter des mûriers platanes dans les différents parcs.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au moment de la plantation, un mûrier platane mesure 1 mètre.
On suppose que chaque année la hauteur de l'arbre augmente de 40 cm.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la hauteur de l'arbre, en mètres, $n$ années après sa plantation. Ainsi $u_0 = 1$.

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Calculer $u_1$.
    \item Quelle sera la hauteur de l'arbre deux années après sa plantation ?
  \end{enumerate}
  \item Quelle est la nature de la suite $\suiten$ ? Justifier.
  \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  \item Au bout de combien d'années le mûrier atteindra-t-il 9 mètres de haut ?
\end{enumerate}

\pagebreak

\textbf{Partie B}

\smallskip

Au moment de la plantation, l'arbre possède un tronc et deux branches.
Un an après la plantation, on observe 4 nouvelles branches.
Deux ans après la plantation, on observe 8 nouvelles branches.

\smallskip

Chaque année, le nombre de nouvelles branches double.

\begin{Centrage}
  \begin{tikzpicture}
    %arbre Gauche
    \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ;
    \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) ;
    \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt];
    \draw (0,0.125) node[font=\small\sffamily,above left] {tronc} ;
    \draw (0,1.625) node[font=\small\sffamily,left=10pt] {branche} ;
    \draw (0,1.562) node[font=\small\sffamily,right=10pt] {branche} ;
    %arbre Milieu
    \begin{scope}[shift={(4.25,0)}]
      \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ;
      \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) (-1,2.25) -- (-1.5,2.75) (-1,2.25) -- (-0.5,2.75) (1,2.25) -- (0.5,2.75) (1,2.25) -- (1.5,2.75) ;
      \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt] (-1.5,2.75) circle[radius=2pt] (-0.5,2.75) circle[radius=2pt] (0.5,2.75) circle[radius=2pt] (1.5,2.75) circle[radius=2pt];
    \end{scope}
    %arbre Droit
    \begin{scope}[shift={(9.25,0)}]
      \draw[ultra thick] (0,0) -- (0,1.5) ;
      \draw[thick] (0,0) -- (0,1.5) -- (1,2.25) (0,1.5) -- (-1,2.25) (-1,2.25) -- (-1.5,2.75) (-1,2.25) -- (-0.5,2.75) (1,2.25) -- (0.5,2.75) (1,2.25) -- (1.5,2.75) ;
      \draw[thick] (-1.5,2.75) -- ({-1.5-0.375},3.5)
                   (-1.5,2.75) -- ({-1.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thick] (-0.5,2.75) -- ({-0.5-0.375},3.5)
                   (-0.5,2.75) -- ({-0.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thick] (0.5,2.75) -- ({0.5-0.375},3.5)
                   (0.5,2.75) -- ({0.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thick] (1.5,2.75) -- ({1.5-0.375},3.5)
                   (1.5,2.75) -- ({1.5+0.375},3.5) ;
      \draw[thin,black,fill=darkgray] (0,0) circle[radius=2pt] (0,1.5) circle[radius=2pt] (-1,2.25) circle[radius=2pt] (1,2.25) circle[radius=2pt] (-1.5,2.75) circle[radius=2pt] (-0.5,2.75) circle[radius=2pt] (0.5,2.75) circle[radius=2pt] (1.5,2.75) circle[radius=2pt] ({-1.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-1.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-0.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({-0.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({0.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({0.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({1.5-0.375},3.5) circle[radius=2pt] ({1.5+0.375},3.5) circle[radius=2pt] ;
    \end{scope}
    \draw[blue!75!black,very thick] (-2.5,0) -- (12.5,0) ;
    \draw (0,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}au moment\\de la plantation\\(année 0)} ;
    \draw (4.25,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}un an après\\la plantation\\(année 1)} ;
    \draw (9.25,0) node[below,text width=3cm,align=center] {\vphantom{(qÉ)}deux ans après\\la plantation\\(année 2)} ;
  \end{tikzpicture}
\end{Centrage}

Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre de nouvelles branches $n$ années après la plantation. À la plantation, l'arbre possède 2 branches, ainsi on pose $v_0 = 2$.

\begin{enumerate}
  \item Quelle est la nature de la suite $\suiten[v]$ ? Justifier.
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Un an après la plantation, l'arbre a produit 4 nouvelles branches. Il possède alors un nombre total de branches égal à 6.

    Montrer que, trois ans après sa plantation, l'arbre possède un nombre total de branches égal à 30.
    \item On donne le programme \textsf{Python} suivant :

    \begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
v = 2
total = 2
for i in range(10) :
  v = 2 * v
  total = total + v
print(total)
    \end{CodePythonLstAlt}%
    \hfill\null

    \medskip

    La valeur affichée par ce programme est $4\,094$.

    Dans le contexte de l'exercice, que représente la valeur $4\,094$ affichée par ce programme ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}