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Durant une fête foraine, une urne contient dix boules. Chaque boule est soit verte, soit rouge, indiscernable au toucher.
Un jeu est proposé aux personnes présentes à la fête foraine. Pour y participer le joueur doit d'abord payer $1$~euro.
Ensuite,
\begin{itemize}
  \item le joueur tire une première boule qu'il donne au forain, celui-ci note sa couleur puis remet la boule dans l'urne ;
  \item le joueur tire une deuxième boule, le forain note la couleur de ce deuxième tirage et remet à nouveau la boule dans l'urne.
\end{itemize}
Voici les récompenses qu'il obtient :
\begin{itemize}
  \item si le joueur a tiré deux boules rouges, il reçoit $3$~euros ;
  \item si le joueur a tiré deux boules vertes, il reçoit $1$~euro ;
  \item sinon il ne reçoit pas d'argent.
\end{itemize}

\begin{center}\textbf{Partie A}\end{center}

Dans cette partie, on considère que cette urne contient $1$ boule rouge et $9$ boules vertes.

On note :
\begin{itemize}
  \item $R_1$ l'événement : « La première boule tirée est rouge. »
  \item $R_2$ l'événement : « La deuxième boule tirée est rouge. »
\end{itemize}

\begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation.

  \begin{Centrage}
    \ArbreProbasTikz[Type=2x2,PositionProbas=auto]{$R_1$/\numdots/,$R_2$/\numdots/,$\overline{R_2}$/\numdots/,$\overline{R_1}$/\numdots/,$R_2$/\numdots/,$\overline{R_2}$/\numdots/,}
  \end{Centrage}

  \item On note $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre la somme reçue après les deux tirages et les frais de participation au jeu de $1$~euro.
  \begin{enumerate}
    \item Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$.
    \item Montrer que $P(X = -1) = \dfrac{18}{100}$.
    \item Recopier sur votre feuille et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$ :

    \medskip

    \begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.75\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}}
      $k$ & & & \\
      $P(X = k)$ & & & \\
    \end{tblr}

    \medskip

    \item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}