%bac2026gen-poly-juin-sujet2-exo4.tex
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{enumerate}
  \item On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $f(x) = x\,\e^{\left(x^2\right)}$.

  \textbf{Affirmation 1~:} $f$ est concave sur $\intervOF{-\infty}{0}$.

  \item Un refuge spécialisé accueille $24$ rapaces numérotés de $1$ à $24$. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d'administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de $1$ à $3$, constitués chacun de $8$ rapaces.

  \textbf{Affirmation 2~:} Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes $1$ à $3$ est :
  \[
    \frac{24!}{(8!)^3}.
  \]

  \item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, solution de l'équation différentielle :
  \[
    y' = -y + 1 \quad \text{sur } \mathbb{R}.
  \]

  \textbf{Affirmation 3~:} La fonction $g$ définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - 1$ vérifie
  \[
    g' = -g.
  \]

  \item La suite $\suiten[u]$ est définie pour tout entier naturel $n$ non nul par :
  \[
    u_n = \frac{\sin(n)}{n}.
  \]

  \textbf{Affirmation 4~:} La suite $\suiten[u]$ n'admet pas de limite.

  \item On a tracé ci-dessous la parabole d'équation $y = -x^2 + 4x + 1$ et la droite d'équation $y = x + 1$.

  \begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=1cm,Xmin=-1,Xmax=5.5,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.5,Ymax=5.5,Ygrilles=0.5]<AffCadre>
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{0,...,5}{-1,0,...,5}
    \DefinirCourbe[Nom=cf]<f>{-x*x+4*x+1}
    \DefinirCourbe[Nom=cg]<g>{x+1}
    \TracerIntegrale%
      [Couleurs=lightgray,Style=remplissage,Type=fct/fct,Bornes=abs]%
      {f(x)}[g(x)]
      {0}{3}
    \TracerCourbe[Couleur=red]{f(x)}
    \TracerCourbe[Couleur=blue]{g(x)}
  \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  \textbf{Affirmation 5~:} L'aire du domaine grisé est égale à $6{,}5$ unités d'aire.
\end{enumerate}