%bac2026gen-poly-juin-sujet1-exo3.tex
On considère la fonction $f$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par :%
\[
  f(x) = \ln(3x^2 + 1).
\]
On admet que la fonction $f$ est croissante sur $\intervFO{0}{+\infty}$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\suiten[u]$ définie par~:
\[
  u_0 = 2 \text{ et pour tout entier } n \geqslant 0,~ u_{n+1} = \ln{\left(3u_n^2 + 1\right)}.
\]

\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$.

  \item La suite $\suiten[u]$ est représentée ci-dessous. Émettre des conjectures sur le sens de variation et la convergence de la suite $\suiten[u]$.

  \begin{Centrage}%à voir si tkz-grapheur...
    \begin{GraphiqueTikz}[x=0.8cm,y=1.3cm,Xmin=0,Ymin=0,Xmax=13.5,Xgrille=2,Xgrilles=2,Ymax=4.3,Ygrilles=1]
      \TracerAxesGrilles*[Origine]{0,2,...,12}{0,1,...,4}
      \ifdef{\TracerNuageSuiteF}%compatibilité dernière version ;-)
        {%
          \TracerNuageSuiteF*[CouleurNuage=red,Style=o,Debut=0,Fin=13]{2}{ln(3*x^2+1)}
        }%
        {%
          \foreach \pt/\val in {
            0/2, 1/2.565, 2/3.032, 3/3.353, 4/3.547, 5/3.657,
            6/3.717, 7/3.748, 8/3.765, 9/3.773, 10/3.778,
            11/3.780, 12/3.781, 13/3.782
          } {
            \filldraw[red] (\pt,\val) circle(1.75pt);
          }
        }%
      \PlacerTexte[Position=right]{(axeox-ee)}{$n$}
      \PlacerTexte[Position=above right]{(axeoy-nn)}{$u_n$}
    \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}

  \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$~:
  \[
    2 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4.
  \]

  \item En déduire que la suite $\suiten[u]$ est convergente.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $\ell$ la limite de la suite $\suiten[u]$.

Le but de cette partie est de trouver une valeur approchée de la limite $\ell$.

On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$ par~:
\[
  g(x) = \ln(3x^2+1) - x.
\]

\begin{enumerate}
  \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$.

  Démontrer que pour tout réel $x \in \intervFO{0}{+\infty}$~:
  \[
    g'(x) = \dfrac{-3x^2 + 6x - 1}{3x^2 + 1}.
  \]

  \item Démontrer que la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\intervFF{2}{4}$.

  \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\intervFF{2}{4}$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

  \item Justifier que $\ell = \alpha$.
\end{enumerate}