%bac2026gen-fr-juin-sujet2-exo4.tex
\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ dont on donne ci-dessous une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthogonal. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On précise que :
\begin{itemize}
  \item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point $C$ d'abscisse $1$ ;
  \item la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A\left(\dfrac{1}{2};0\right)$ passe par le point $B(1;\e^2)$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.5cm,y=0.75cm,Xmin=-0.25,Xmax=4.75,Xgrilles=1,Ymin=-3.5,Ymax=8.5,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue!50!black,Pas=0.01]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)}
  \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=0.05,Fin=1.15]{2*exp(2)*(x-0.5)}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(0.5,0)/$A$/below right,(1,7.389)/$B$/left,(1,2.718)/$C$/above}
  \PlacerTexte[Couleur=blue!50!black]{(3.15,0.725)}{$\mathcal{C}_f$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(1.25,8.25)}{$T_A$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item À l'aide du graphique ci-dessus :
  \begin{enumerate}
    \item Donner $f'(1)$.
    \item Donner la solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{3}$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer $f'\left(\dfrac{1}{2}\right)$.

  \item Parmi les trois courbes $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ci-dessous, deux représentent des primitives de la fonction $f$. Indiquer lesquelles et justifier.

  \begin{Centrage}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.9cm,y=1.1cm,Xmin=-0.25,Xmax=4.5,Xgrilles=1,Ymin=-2.75,Ymax=5.25,Ygrilles=1]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,StyleTrace=dashed,Debut=0]{-x*exp(-2*x+3)+exp(1)+1}
    \DefinirCourbe[Trace,StyleTrace=densely dotted,Debut=0]{-x*exp(-2*x+3)+exp(1)-1}
    \DefinirCourbe[Trace,StyleTrace=densely dashed]{-(x-0.4)*exp(-2*(x-.4)+3)+exp(1)-1}
    \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.35,3.65)}{$\mathcal{C}_1$}
    \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.35,1.65)}{$\mathcal{C}_2$}
    \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.35,0.5)}{$\mathcal{C}_3$}
  \end{GraphiqueTikz}
  \end{Centrage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.45cm,y=1.45cm,Xmin=0.4,Xmax=4.2,Ymin=-3,Ymax=3]
  \DefinirCourbe[Trace,Debut=0.5,Fin=3.312,Couleur=blue!50!black]{(2*x-1)*exp(-2*x+3)}
  \DefinirCourbe[Trace,Debut=0.5,Fin=3.312,Couleur=blue!50!black]{-(2*x-1)*exp(-2*x+3)}
  \draw[pflcourbe,blue!50!black](3.312,-0.15)--(3.312,0.15) ;
  \draw[pflcourbe,<->,>=stealth](3.45,-0.15)--(3.45,0.15) node[pos=0.5,right] {0,3~cm};
  \PlacerTexte[]{(2.3,-2.5)}{Fig. 1}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

Un industriel doit créer un logo représentant la forme ci-dessous (Fig.~1). La dimension de $0{,}3$~cm indiquée sur la figure est une contrainte imposée par le client.

L'industriel choisit de modéliser le contour de ce logo à l'aide d'une portion de la courbe de la fonction $f$ vue en partie A, et de l'image de cette portion par la symétrie par rapport à l'axe des abscisses, sur un intervalle $\intervFF{0{,}5}{\alpha}$.

Le nombre $\alpha$ est un réel supérieur à $1$ que l'on déterminera dans cette partie.

L'ensemble est représenté graphiquement dans un repère orthonormé (Fig.~2) d'unité $1$~cm.

\pagebreak

\begin{wrapstuff}[r]
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.45cm,y=1.45cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.75,Xgrilles=1,Ymin=-2.95,Ymax=3.15,Ygrilles=1]
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Derriere]{}{}
  \DefinirCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Pas=0.01,Nom=cfA]<fA>{(2*x-1)*exp(-2*x+3)}
  \DefinirCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Pas=0.01,Nom=cfB]<fB>{-(2*x-1)*exp(-2*x+3)}
  \TracerIntegrale
  [Bornes=abs,Couleurs=blue!50!black/cyan!50,Bord=false]%
  {fA(x)}{0.5}{3.3}
  \TracerIntegrale
  [Bornes=abs,Couleurs=blue!50!black/cyan!50,Bord=false]%
  {fB(x)}{0.5}{3.3}
  \TracerCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Couleur=blue!50!black]{fA(x)}
  \TracerCourbe[Debut=0.5,Fin=3.3,Couleur=blue!50!black,StyleTrace=dashed]{fB(x)}
  \PlacerTexte[Couleur=blue!50!black]{(2,1.7)}{$\mathcal{C}_f$}
  \PlacerTexte[Couleur=black]{(3.5,-0.25)}{$\alpha$}
  \PlacerTexte[Couleur=black]{(2.5,-3)}{Fig.~2}
  \TracerAxesGrilles*[Origine,Devant]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ par :%
\[
  f(x) = (2x-1)\,\e^{-2x+3}.
\]

\begin{enumerate}
  \item

  \begin{enumerate}
    \item Vérifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ :
    \[
      f(x) = \e^2 \times \frac{2x-1}{\e^{2x-1}}.
    \]

    \item En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.

    \textit{(On pourra poser $X = 2x-1$.)}
  \end{enumerate}

  \item

  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, $f'(x) = (-4x+4)\,\e^{-2x+3}$.

    \item Construire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$.
  \end{enumerate}

  \item Justifier que la contrainte imposée par le client se traduit par l'égalité $f(\alpha) = 0{,}15$.

  Montrer qu'il existe une unique valeur de $\alpha$ dans l'intervalle $\intervFO{1}{+\infty}$ qui permette de vérifier cette égalité. En donner une valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On fabrique un porte-clé en découpant une plaque d'acier suivant la forme du logo représenté par la surface grisée en figure 2 de la partie B. On précise que cette plaque a une épaisseur de $0{,}2$~cm.

\begin{enumerate}
  \item On considère :
  \[
    I = \int_{0{,}5}^{3{,}3} f(x)\,dx.
  \]

  À l'aide d'une intégration par parties, montrer que l'intégrale $I$ arrondie au dixième est égale à $3{,}6$.

  \item On précise que le volume du porte-clé est égal à :
  \[
    \text{Aire du logo} \times \text{épaisseur de la plaque}.
  \]

  Déterminer le volume du porte-clé en cm$^3$, arrondi au dixième.
\end{enumerate}