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Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :
\[ A(1;2;3) \text{, } B(-1;3;1) \text{, } C(2;1;6) \text{ et } D(3;-2;-1) \]

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
    \item Montrer que le vecteur $\vect{n}(1;4;1)$ est normal au plan $(ABC)$.
    \item En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Déterminer une équation paramétrique de la droite $(d)$, perpendiculaire au plan $(ABC)$ et passant par le point $D$.
    \item Déterminer les coordonnées du point $H$ qui est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
    \item En déduire que la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{2}$.
  \end{enumerate}

  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $\cos\left(\widehat{BAC}\right) = -\dfrac{3\sqrt{11}}{11}$.
    \item En déduire la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{BAC}\right)$.
    \item Montrer que l'aire du triangle $ABC$ vaut $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
  \end{enumerate}

  \item Déterminer le volume du tétraèdre $ABCD$.

  On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :%
  \[ \mathcal{V} = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h, \text{ où } \mathcal{B} \text{ est l'aire d'une base et } h \text{ la hauteur qui lui est associée.} \]
\end{enumerate}