%bac2026gen-amnord-mai-sujet2-exo4.tex
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = x(\ln x)^2$.

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
  \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.

  \item Pour tout réel $x > 0$, on pose $g(x) = x \ln x$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que pour tout réel $x > 0$, on a $f(x) =  4{\Big(g\!\big(\sqrt{x}\big)\Big)}^{2}$.

    \item En déduire $\lim_{x \to 0} f(x)$.
  \end{enumerate}

  \item Dans cette question, on étudie les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
  \begin{enumerate}
    \item Démontrer que sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = \left(\ln x\right)\left(2 + \ln x\right)$.

    \item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.

    \item Donner la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{1}$.
  \end{enumerate}

  \item On considère l'équation $f(x) = 2$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que, sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, cette équation admet une unique solution. On note $\alpha$ cette solution.

    \item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0{,}1$.
  \end{enumerate}

  \item Soit $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle $\intervOF{0}{1}$.
  \begin{enumerate}
    \item Donner une interprétation géométrique de $\displaystyle\int_a^1 f(x) \dx$.

    \item À l'aide d'une intégration par parties, justifier que :%
    \[ \int_a^1 f(x) \dx = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 - \int_a^1 x\ln x \dx. \]%erreur énoncé sujet original

    \item En utilisant à nouveau une intégration par parties, démontrer que :%
    \[ \int_a^1 f(x) \dx = -\frac{a^2}{2}(\ln a)^2 + \frac{a^2}{2}\ln a + \frac{1}{4} - \frac{a^2}{4}. \]

    \item Déterminer la limite de $\displaystyle\int_a^1 f(x)\ dx$ quand $a$ tend vers $0$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}