%bac2026gen-ag-juin-sujet2-exo4.tex
On considère la fonction $f_k$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
\[
  f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1+\ln x)}{x}
\]
où $k$ est un réel strictement positif et $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On désigne par $\mathcal{C}_k$ la représentation graphique de la fonction $f_k$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f_k$ est deux fois dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f_k'$ sa dérivée première et $f_k''$ sa dérivée seconde.

\medskip

\textbf{Partie A : étude d'un premier cas particulier}

\medskip

Dans cette partie, on se place dans le cas $k = 2$.

La courbe $\mathcal{C}_2$ est représentée sur le graphique ci-dessous. On précise que :
\begin{itemize}
  \item le point $A$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_2$ ;
  \item $T_2$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point $A$.
\end{itemize}

\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=2.25cm,y=2.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.75,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.6,Ymax=2.4,Ygrilles=0.5]
  \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
  \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
  \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0.1,Pas=0.01]{1-x+2*(1+ln(x))/x}
  \TracerCourbe[Couleur=red,StyleTrace=dashed]{3.426-1.368*x}
  \MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1.6487,1.171)/$A$/above right}
  \PlacerTexte[Couleur=blue]{(0.5,-1.25)}{$\mathcal{C}_2$}
  \PlacerTexte[Couleur=red]{(1,2.35)}{$T_2$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

\begin{enumerate}
  \item On considère une primitive $F_2$ de la fonction $f_2$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction $F_2$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{3}$.

  \item Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_2'$ et celle qui représente $f_2''$. Justifier.

  \begin{Centrage}
  \begin{tabular}{ccc}
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0.5,Pas=0.01]{-1-2*ln(x)/(x*x)}
  \end{GraphiqueTikz}
  &
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=1.01,Pas=0.01]{(-2+4*ln(x))/(x^3)}
  \end{GraphiqueTikz}
  &
  \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-0.25,Xmax=3.55,Xgrilles=0.5,Ymin=-1.55,Ymax=2.35,Ygrilles=0.5]
    \TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
    \RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
    \DefinirCourbe[Trace,Couleur=black,Debut=0,Pas=0.01]{1.5*(sqrt(x)-sqrt(2.5))}
  \end{GraphiqueTikz}
  \\
  Courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3 \\
  \end{tabular}
  \end{Centrage}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : étude d'un second cas particulier}

\medskip

Dans cette partie on se place dans le cas $k = 1$.

On considère la fonction $f_1$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :%
\[
  f_1(x) = 1 - x + \frac{1+\ln x}{x}.
\]

\begin{enumerate}
  \item
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que pour tout réel $x > 0$ :%
    \[
      f_1'(x) = -1 - \frac{\ln x}{x^2}.
    \]
    \item Déterminer la limite de $f_1'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  \end{enumerate}

  \item On admet que :
  \begin{itemize}
    \item l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de $f_1'$ ;
    \item pour tout réel $x > 0$, $f_1''(x) = \dfrac{2\ln x - 1}{x^3}$.
  \end{itemize}

  On donne ci-dessous le tableau de variations de $f_1'$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.

  \medskip

  \begin{Centrage}
  \begin{tikzpicture}[double distance=2pt]
    \tkzTabInit[lgt=2,espcl=3]{$x$/1,$f_1'$/2}{$0$,$\sqrt{\e}$,$+\infty$}
    \tkzTabVar{D+/{$+\infty$},-/{$-1-\tfrac{1}{2\e}$},+/{$-1$}/}
  \end{tikzpicture}
  \end{Centrage}

  \begin{enumerate}
    \item Justifier les variations de la fonction $f_1'$ sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et la valeur de l'extremum.
    \item Justifier la limite de la fonction $f_1'$ en $0$.
    \item Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$. En déduire que $f_1$ admet un maximum sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
    \item Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage \textsf{Python} ci-dessous, afin qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation $f_1'(x) = 0$ sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
from math import log as ln

def d(x) :
    return -1 - ln(x) / x**2

def alpha() :
    u = 0.5
    while d(u) ... 0 :
        u = ...
    return u
\end{CodePythonLstAlt}

    On rappelle que \texttt{x**2} désigne $x^2$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : $\bm{k}$ quelconque}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $h(x) = \dfrac{1+\ln x}{x}$ et la fonction $H$ définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par $H(x) = \dfrac{1}{2}(1+\ln x)^2$. On admet que $H$ est dérivable sur $\intervOO{0}{+\infty}$.

\begin{enumerate}
  \item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de $h$.

  On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_k$ est la fonction définie sur $\intervOO{0}{+\infty}$ par :
  \[
    f_k(x) = 1 - x + \frac{k(1+\ln x)}{x}.
  \]

  \item Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de la fonction $f_k$ sur l'intervalle $\intervFF{1}{\e}$ est égale à $0$ ? Justifier.
\end{enumerate}