%bac2026gen-ag-juin-sujet2-exo3.tex
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

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\begin{enumerate}
  \item Le plan est muni d'un repère orthonormé.
  \begin{enumerate}
    \item On considère l'équation différentielle $(E_1)$~: $y' + 2y = 0$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

    On note $f$ la solution de l'équation différentielle $(E_1)$ telle que $f(0) = 1$.

    \medskip

    \textbf{Affirmation 1~:} La courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point $A$ de coordonnées $\left(\ln 2;\dfrac{1}{2}\right)$.

    \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$ par :%
    \[
      f(x) = x - \cos(x).
    \]

    \medskip

    \textbf{Affirmation 2~:} Sur l'intervalle $\intervFF{\dfrac{\pi}{2}}{\pi}$, la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de ses tangentes.

    \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par :%
    \[
      f(x) = 1 + \frac{\sin(x)}{x}.
    \]

    \medskip

    \textbf{Affirmation 3~:} La droite d'équation $y = 1$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction $f$.
  \end{enumerate}

  \item On considère l'équation différentielle $(E_2)$~: $y' - 3y = 2 - 6x$, où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\mathbb{R}$.

  \medskip

  \textbf{Affirmation 4~:} La fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2x - \e^{3x}$ est une solution de l'équation $(E_2)$.
\end{enumerate}