% bac2025gen-ce-juin-sujet2-exo2.tex
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{a + e^{-bx}} \]
%
où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles strictement positives.

\smallskip

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. La fonction $f$ admet pour représentation graphique la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous :

\begin{Centrage}
	\begin{GraphiqueTikz}[x=0.2cm,y=5cm,Xmin=-5,Xmax=30,Xgrille=5,Xgrilles=5,Ymin=0,Ymax=1.1,Ygrille=0.1,Ygrille=0.1]
		\TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm]{auto}{0.5,1}
		\DefinirCourbe[Nom=d,Trace,Couleur=blue]< d >{0.05*x+0.5}
		\DefinirCourbe[Nom=cf,Trace,Couleur=red,Debut=0]< f >{1/(1+exp(-0.2*x))}
		\MarquerPts[Style=x]{(0,0.5)/$A$/below right,(10,1)/$B$/below right}
		\PlacerTexte[Couleur=red,Police=\large]{(27.5,0.925)}{$C_f$}
	\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}

On considère les points $A(0; 0,5)$ et $B(10; 1)$.

On admet que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$.

\begin{enumerate}
	\item Par lecture graphique, donner une valeur approchée de $f(10)$.
	\item On admet que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$. Donner une interprétation graphique de ce résultat.
	\item Justifier que $a = 1$.
	\item Déterminer le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de la constante $b$.
		\item En déduire la valeur de $b$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet, dans la suite de l'exercice, que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-0,2x}} \]

\begin{enumerate}
	\item Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
	\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
	\item Montrer qu'il existe un unique réel $\alpha$ positif tel que $f(\alpha) = 0,97$.
	\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement du réel $\alpha$ par deux nombres entiers consécutifs.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\smallskip

\begin{enumerate}
	\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, $f(x) = \dfrac{e^{0,2x}}{1 + e^{0,2x}}$.
	\item En déduire une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$.
	\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0; 40]$, c'est-à-dire : \[ I = \frac{1}{40} \int_{0}^{40} \frac{1}{1 + e^{-0,2x}} \dx. \]
	%
	On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au millième.
\end{enumerate}


