%bac2023gen-amsud-septembre-sujet2-exo3.tex
Soit la suite $\suiten$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n \in \N$, \[ u_{n+1}=5u_n-8n+6. \]
%
\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
	\item Soit $n$ un entier naturel.

	Recopier et compléter la fonction \texttt{suite\_u} d’argument \texttt{n} ci-dessous, écrite en langage \textsf{Python}, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
	%
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def suite_u(n) :
	u = ...
	for i in range(1, n+1) :
		u = ...
	return u
\end{CodePythonLstAlt}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$, $u_n \geqslant 2n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\suiten$.
		\item Soit $p \in N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant $n \geqslant n_0$, $u_n \geqslant 10^p$ ?
	\end{enumerate}
	\item Démontrer que la suite $\suiten$ est croissante.
	\item On considère la suite $\suiten[v]$, définie pour tout $n \in \N$, par $v_n = u_n -n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item En dessous de la fonction \texttt{suite\_u} précédente, on a écrit la fonction \texttt{suite\_v} ci-dessous :

\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=10cm]{center}
def suite_v(n):
	L = []
	for i in range(n+1) :
		L.append(suite_u(i)-2*i+1)
	return L
\end{CodePythonLstAlt}
	%
	\emph{La commande « \texttt{L.append} » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste \texttt{L}.}

	\smallskip

	Lorsqu'on saisit \texttt{suite\_v(5)} dans la console, on obtient l’affichage suivant :

	\hspace*{4cm}\texttt{>{}>{}>{} suite\_v(5)}\\
	\hspace*{4cm}\texttt{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}


	Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.

	Démontrer cette conjecture.
	\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}