%%bac2023gen-amsud-septembre-sujet1-exo1.tex
\textbf{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\intervOO{0}{+\infty}$ par \[ f(x)=1+x^2+2x^2\,\ln(x). \]
On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
	\item Justifier que $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x) = 1 + x^2 \big(1-2\ln(x)\big)$, justifier que $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
	\item Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $f'(x) = -4x \,\ln(x)$.
	\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, puis dresser le tableau de variation de la fonction sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$.
	\item Démontrer que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle
	$\intervFO{1}{+\infty}$ et que $\alpha \in \intervFF{1}{\e}$.
\end{enumerate}
%
On admet dans la suite de l’exercice, que l’équation $f (x) = 0$ n’admet pas de solution sur
l’intervalle $\intervOF{0}{1}$.
%
\begin{enumerate}[resume]
	\item On donne la fonction ci-dessous écrit en \textsf{Python}. L’instruction \texttt{from lycee import *} permet d’accéder à la fonction ln.
	%
\begin{CodePythonLstAlt}[Largeur=8cm]{center}
from lycee import *

def f(x) :
	return 1+x**2-2*x**2*ln(x)

def dichotomie(p) :
	a = 1
	b = 2.7
	while b-a > 10**(-p) :
		if f(a) * f((a+b)/2) < 0 :
			b = (a+b)/2
		else :
			a = (a+b)/2
	return (a, b)
\end{CodePythonLstAlt}
	%
	Il écrit dans la console d’exécution :

	\texttt{>{}>{}>{} dichotomie(1)}

	\smallskip

	Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination)

	\hspace*{4cm}Proposition A : \texttt{(1.75, 1.9031250000000002)}\\
	\hspace*{4cm}Proposition B : \texttt{(1.85, 1.9031250000000002)}\\
	\hspace*{4cm}Proposition C : \texttt{(2.75, 2.9031250000000002)}\\
	\hspace*{4cm}Proposition D : \texttt{(2.85, 2.9031250000000002)}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $g$, définie sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, par \[ g(x)=\frac{\ln(x)}{1+x^2}. \]
On admet que g est dérivable sur l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Rij$.

\begin{enumerate}
	\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$, $g'(x) = \dfrac{f(x)}{x\big(1+x^2\big)^2}$.
	\item Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x = \alpha$.

	On admet que $g(\alpha) = \dfrac{1}{2\alpha^2}$.
	\item On note $T_1$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse 1 et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d’abscisse $\alpha$.

	Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$
	et $T_{\alpha}$
\end{enumerate}