% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\serie}{Technologique}
\newcommand{\lieu}{Antilles-Guyane}
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\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATHTEAG1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2,3}
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\def\repartpts{6,14,5,5,4}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
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{Suites / Tableur},
{Probabilités},
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\title{\nomfichier}
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\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
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%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{reunion.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Toutes séries technologiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{3}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Un objet coûtait $100$~€. Après une remise, il coûte $80$~€.
Quel était le pourcentage de cette remise ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$0{,}2\,\%$}{$20\,\%$}{$0{,}8\,\%$}{$80\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Dans une salle de cinéma, $60\,\%$ des personnes ont moins de $25$ ans, dont $10\,\%$ sont mineurs.
Quelle est la proportion de mineurs dans la salle ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$0{,}1$}{$0{,}5$}{$0{,}06$}{$0{,}6$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Un prix augmente de $10\,\%$ puis diminue de $20\,\%$.
Quelle est l'évolution globale de ce prix ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{Baisse de $10\,\%$}{Baisse de $12\,\%$}{Hausse de $10\,\%$}{Baisse de $88\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
Pour les questions \textbf{4} et \textbf{5}, on considère la formule suivante permettant de transformer des degrés Celsius (°C) en degrés Fahrenheit (°F) :
\[
F = 1{,}8\,C + 32
\]
où $F$ désigne la température en °F et $C$ désigne la température en °C.
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Sachant que l'eau bout à $100$~°C, la température d'ébullition de l'eau en °F est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$33{,}8$~°F}{$50$~°F}{$100$~°F}{$212$~°F}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
La formule permettant de transformer des degrés Fahrenheit (°F) en degrés Celsius (°C) est donc :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$C = \dfrac{F}{1{,}8} - 32$}{$C = \dfrac{F - 32}{1{,}8}$}{$C = \dfrac{F - 1{,}8}{32}$}{$C = \dfrac{F}{32} - 1{,}8$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère $A = \dfrac{\frac{5}{3}}{15}$ :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$A = \dfrac{1}{9}$}{$A = 25$}{$A = \dfrac{1}{45}$}{$A = 5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Dans le repère ci-dessous, on a représenté une droite $d$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.6cm,y=0.6cm,Xmin=-3,Xmax=8,Xgrilles=1,Ymin=-1.5,Ymax=4.5,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize,Grads=false]{auto}{-1,0,...,4}
\RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
\TracerCourbe[Couleur=CouleurVertForet]{-0.5*x+2}
\node[font=\small,CouleurVertForet,above right] at (-2,3) {$(d)$};
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
L'équation réduite de cette droite est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$y = -0{,}5x + 4$}{$y = -0{,}5x + 2$}{$y = -2x + 4$}{$y = -2x + 2$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
Dans un repère, on considère les points $E$ de coordonnées $(20;25)$ et $F$ de coordonnées $(5;15)$.
Le coefficient directeur de la droite $(EF)$ est alors égal à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$2$}{$\dfrac{3}{2}$}{$\dfrac{2}{3}$}{$\dfrac{1}{2}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{9}
Dans le repère ci-dessous, on a représenté une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5;3]$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.6cm,y=0.6cm,Xmin=-5.5,Xmax=4.5,Xgrilles=1,Ymin=-3.5,Ymax=3.5,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize,Grads=false]{-5,-4,...,4}{-3,-2,...,3}
\RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
\DefinirCourbeInterpo[Trace,Couleur=red]{(-5,0.5)(-4,2)(-3,2.5)(-2,1.8)(-1,0)(1.5,-2.5)(3,-1)}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
Le tableau de signes de cette fonction est :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]%
{\\[4pt]\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-5$,$-3$,$1{,}5$,$3$}\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}\end{tikzpicture}}%
{\\[4pt]\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=2.25]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-5$,$-1$,$3$}\tkzTabLine{,+,z,-}\end{tikzpicture}}%
{\\[4pt]\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=2.25]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-5$,$-1{,}5$,$3$}\tkzTabLine{,-,z,+}\end{tikzpicture}}%
{\\[4pt]\begin{tikzpicture}\tkzTabInit[lgt=1.8,espcl=1.5]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-5$,$-1$,$0$,$3$}\tkzTabLine{,+,z,-,z,+}\end{tikzpicture}}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{10}
Les paramètres statistiques d'une série de notes d'un contrôle noté sur $20$ sont donnés dans le tableau ci-dessous.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.975\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
\vphantom{q}Minimum & Premier quartile & \vphantom{q}Médiane & Troisième quartile & \vphantom{q}Maximum \\
$2$ & $5$ & $10$ & $12$ & $17$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
La proportion d'élèves ayant une note inférieure ou égale à $12$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[2]{inférieure ou égale à $25\,\%$}{égale à $50\,\%$}{supérieure ou égale à $75\,\%$}{égale à $100\,\%$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{11}
Le diagramme ci-dessous donne la répartition en pourcentage de joueurs de jeux vidéo selon leur âge.
\begin{Centrage}
\begin{tikzpicture}[thick,scale=0.667]
\wheelchart[
data sep=0,
lines=0.5,
pie,
slices style={\WCvarB,draw=black},
wheel data=\WCperc
]{%
12.5/lime/10--14 ans,
18.9/green/15--24 ans,
18.6/violet!50/25--34 ans,
24.8/teal/35--49 ans,
16.7/cyan!50/50--65 ans,
8.5/blue!50/6--9 ans
}
\end{tikzpicture}
\smallskip
{\footnotesize\itshape Source : CNC -- TNS Sofres 2014}
\end{Centrage}
La proportion de joueurs de 24 ans et moins est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$60{,}1\,\%$}{$18{,}9\,\%$}{$39{,}9\,\%$}{$\dfrac{1}{3}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
\begin{AutomatQuestEAM}{12}
Une enquête réalisée auprès des $800$ élèves d'un lycée donne les résultats suivants :
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.9\linewidth,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
L'élève & est une fille & est un garçon & Total \\
ne pratique aucune activité sportive & $90$ & $200$ & $290$ \\
pratique au moins une activité sportive & $210$ & $300$ & $510$ \\
Total & $300$ & $500$ & $800$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
On choisit au hasard un élève parmi les garçons. Quelle est la probabilité qu'il ne pratique aucune activité sportive ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{200}{290}$}{$\dfrac{200}{800}$}{$\dfrac{290}{800}$}{$\dfrac{200}{500}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
\begin{minipage}[t]{0.75\linewidth}
Au $1^{\text{er}}$ janvier 2025, une famille installe des éoliennes domestiques qui produiront une quantité d'énergie de $3\,000$~kWh en 2025.
On constate que chaque année, la quantité d'énergie produite par cette installation baisse de $5\,\%$.
Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie (en kWh) produite par l'installation durant l'année $(2025 + n)$.
On a donc $u_0 = 3\,000$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle sera la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année 2026 ? Détailler les calculs.
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}95 \times u_n$.
\item Quelle est la nature de la suite $\suiten$ ? Préciser sa raison.
\end{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a obtenu les valeurs successives des termes de la suite $\suiten$. On donne ci-contre un extrait de la feuille de calculs.
Vous répondrez aux questions suivantes à l'aide du tableau ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Déterminer à partir de quelle année la quantité d'énergie produite sera inférieure à $1\,000$~kWh.
\item Après $25$ ans de fonctionnement, le fabricant affirme que la quantité d'énergie produite s'élèvera à plus de $30\,\%$ de la quantité produite initialement. Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill\null
\end{minipage}
\hfill%
\begin{minipage}[t]{0.24\linewidth}
\begin{tblr}[baseline=t]{hlines,vlines,colspec={cc},cells={font=\scriptsize},abovesep=0pt,belowsep=0pt}
Valeur de $n$ & Valeur de $u_n$ \\
0&3000.00\\
2&\\
3&2572.13\\
4&2443.52\\
5&2321.34\\
6&2205.28\\
7&2095.01\\
8&1990.26\\
9&1890.75\\
10&1796.21\\
11&1706.40\\
12&1621.08\\
13&1540.03\\
14&1463.02\\
15&1389.87\\
16&1320.38\\
17&1254.36\\
18&1191.64\\
19&1132.06\\
20&1075.46\\
21&1021.68\\
22&970.60\\
23&922.07\\
24&875.97\\
25&832.17\\
26&790.56\\
27&751.03\\
28&713.48\\
29&677.81\\
30&643.92\\
31&611.72\\
32&581.13\\
\end{tblr}
\end{minipage}
\pagebreak
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item On a représenté ci-dessous deux suites. Indiquer le graphique correspondant à la représentation de la suite $\suiten$. Justifier votre réponse.
\medskip
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.33cm,y=0.0022cm,Xmin=0,Xmax=32,Xgrille=5,Xgrilles=5,Ymin=0,Ymax=3100,Ygrille=500,Ygrilles=500]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{0,5,...,30}{0,500,...,3000}
\foreach \n in {0,...,32}{
\MarquerPts*[Style=+,Couleur=blue]{(\n,{3000-90*\n})}
}
\PlacerTexte[Police=\small]{(25,2300)}{Graphique 1}
\end{GraphiqueTikz}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.33cm,y=0.0022cm,Xmin=0,Xmax=32,Xgrille=5,Xgrilles=5,Ymin=0,Ymax=3100,Ygrille=500,Ygrilles=500]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{0,5,...,30}{0,500,...,3000}
\foreach \n in {0,...,32}{
\MarquerPts*[Style=+,Couleur=red]{(\n,{3000*0.95^\n})}
}
\PlacerTexte[Police=\small]{(25,2300)}{Graphique 2}
\end{GraphiqueTikz}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{2}
En France, en 2021, une étude portant sur $100$ personnes locataires du parc social (HLM) montre que :
\begin{itemize}
\item $70$ sont des personnes qui ne vivent pas en couple et parmi elles, la moitié est sans enfant ;
\item parmi les personnes vivant en couple, $12$ n'ont pas d'enfant.
\end{itemize}
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.75\linewidth,colspec={X[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
& Sans enfant & Au moins un enfant & Total \\
Personne vivant en couple & $12$ & $18$ & $30$ \\
Personne ne vivant pas en couple & $35$ & $35$ & $70$ \\
Total & $47$ & $53$ & $100$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
On interroge une de ces personnes au hasard et on considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $C$ : \og la personne vit en couple \fg{} ;
\item $E$ : \og la personne a au moins un enfant \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée soit une personne sans enfant et ne vivant pas en couple.
\item Calculer la probabilité de l'événement $C \cap E$ puis interpréter.
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ne vive pas en couple sachant qu'elle a au moins un enfant.
\item Dans cette question, on s'intéresse au nombre de pièces par logement dans le parc social. Une autre étude donne la répartition suivante : $8\,\%$ des logements possèdent $5$ pièces, $25\,\%$ ont $4$ pièces, $40\,\%$ ont $3$ pièces, $20\,\%$ ont deux pièces et $7\,\%$ ont une seule pièce.
On choisit un logement au hasard et on note $X$ la variable aléatoire associant à chaque logement, son nombre de pièce(s).
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
\item Calculer $P(X \geqslant 2)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Montrer que $E(X) = 3{,}07$. Interpréter ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\pagebreak
\begin{ExerciceEAM}{3}
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant votre réponse.
Dans tout l'exercice, on se place dans un repère orthonormé.
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2(x+1)(x-3)(x-5)$.
\textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ est négative sur l'intervalle $[-1;3]$.
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = -3x^2 + 12x - 4$. On note $C_h$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 2 :} L'équation réduite de la tangente à $C_h$ au point d'abscisse $1$ est : $y = 6x - 1$.
\item \textbf{Affirmation 3 :} La fonction $h$ est croissante sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction polynôme de degré $2$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[
g(x) = (x - x_1)(x - x_2)
\]
où $x_1$ et $x_2$ sont des réels. On note $C_g$ sa courbe représentative.
On sait que :
\begin{itemize}
\item $2$ est une racine de $g$ ;
\item la droite d'équation $x = 2{,}5$ est l'axe de symétrie de $C_g$.
\end{itemize}
\textbf{Affirmation 4 :} $g(0) = 6$.
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\end{document}