% !TeX TXS-program:compile = txs:///pdflatex
\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
\usepackage[margin=2cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage{ProfLycee}
\useproflyclib{ecritures,tikz2d,tikz3d,cas}
\RequirePackage[upright]{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb,amstext}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand\ttdefault{lmtt}
\usepackage{cabin,decimalcomma,ibrackets,esvect,bm}
\usepackage{hyperref,lastpage,enumitem,fancyhdr}
\usepackage{tabularx,multicol,wrapstuff,twemojis,logoetalab}
\usepackage[nonpgfplots]{tkz-grapheur}
\usepackage[pastableur]{customenvs}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{hobby}
\usepackage{babel}
\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Sans spécialité}
\newcommand{\lieu}{Métropole}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATGEME1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2}
\setsepchar{,}
\def\repartpts{6,14,6,8}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités},
{Suites / Tableur}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
\usepackage{enumitem}
\setenumerate[1]{font=\bfseries}
\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
\cfoot{\scriptsize\sffamily \codesujet}
\rfoot{\scriptsize\sffamily - \thepage{}/{}\pageref{LastPage} -}
\setlength{\parindent}{0pt}
\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{fr.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spé. de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{2}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
Le nombre $\dfrac{2}{5}$ est égal à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$0{,}2$}{$0{,}25$}{$0{,}4$}{$0{,}5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
$30\,\%$ de $150$ est égal à :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$15$}{$30$}{$45$}{$60$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
\begin{wrapstuff}[r,abovesep=-8mm]
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.9cm,Xmin=-4.25,Xmax=5.25,Xgrilles=0.5,Xgrilles=0.5,Ymin=-2.25,Ymax=3.75,Ygrilles=0.5,Ygrilles=0.5]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\footnotesize]{-4,-3,...,5}{-2,-1,...,3}
\DefinirCourbeInterpo[Couleur=blue,Trace,Tension=0.75]{(-4,-1)(-3,1.5)(-1.5,-1.5)(0,1)(0.5,2)(1,3)(1.5,2)(2,1.5)(2.5,1)(3,0.5)(3.5,1)(4,1.5)(4.5,2)(5,2.5)}
%\DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-4,Fin=5]{sin(deg(x))*exp(-0.1*x)+0.3*cos(deg(2*x))+1}
\end{GraphiqueTikz}
\end{wrapstuff}
On donne ci-contre la représentation graphique d'une fonction $f$.
Lequel de ces nombres est un antécédent de $3$ ?
\smallskip
\eamreponsesautom[1]<\linewidth-9.5cm>{$0{,}5$}{$1$}{$1{,}5$}{$2$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
La solution de l'équation $7x + 4 = 5x + 6$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$x = -1$}{$x = 0$}{$x = 2$}{$x = 1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Un article coûte initialement $50$~€. Son prix diminue de $10\,\%$ puis augmente de $10\,\%$.
Son prix final est de :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$49{,}50$~€}{$49{,}90$~€}{$50$~€}{$50{,}10$~€}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On considère la courbe d'équation $y = 2x^2 - x + 3$. Le point d'abscisse $-1$ de la courbe est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$A(-1;0)$}{$B(-1;2)$}{$C(-1;4)$}{$D(-1;6)$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
Une droite passe par les points $A(-1;2)$ et $B(-3;4)$. Son coefficient directeur est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$-2$}{$-1$}{$1$}{$2$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
On s'intéresse au confort d'un hôtel.
Les six dernières notes obtenues sont : $2$~;~$3$~;~$5$~;~$4$~;~$2$~;~$3$.
La médiane de cette série de notes est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$2$}{$3$}{$3{,}5$}{$4$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Dans un lycée, $120$ élèves sont sportifs de haut niveau et sont séparés en deux sections : la section aquatique et la section judo. Pour chaque section, les élèves peuvent être en seconde, en première ou en terminale. La répartition de ces $120$ élèves est donnée dans le tableau ci-dessous.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},width=0.8\linewidth,colspec={Q[m,l]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
& Seconde & Première & Terminale & Total \\
Section judo & & $8$ & & $24$ \\
Section aquatique & & & & $40$ \\
Total & $50$ & & $14$ & $120$ \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
On choisit au hasard un élève parmi les sportifs de haut niveau.
On considère les événements suivants :
\begin{itemize}
\item $S$ : \og l'élève est en seconde \fg \quad $A$ : \og l'élève est en section aquatique \fg
\item $P$ : \og l'élève est en première \fg \quad $J$ : \og l'élève est en section judo \fg
\item $T$ : \og l'élève est en terminale \fg
\end{itemize}
\textit{Pour un événement quelconque $E$ : on note $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'événement $F$.}
\begin{enumerate}
\item Reproduire le tableau ci-dessus en complétant les données manquantes.
Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction.
\item Décrire l'événement $A \cap S$ à l'aide d'une phrase puis calculer sa probabilité.
\item On choisit au hasard un élève sportif en seconde. Calculer la probabilité qu'il soit en section aquatique.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité de l'événement $J$.
\item Calculer $P_T(J)$.
\item Les événements $J$ et $T$ sont-ils indépendants ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\bigskip
\begin{ExerciceEAM}{2}
En 2025, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de $20\,000$~€. Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à $22\,000$~€. Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.
\medskip
Ils ont le choix entre deux placements.
\medskip
\textbf{A -- Premier placement}
\medskip
Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de $200$~€ par rapport au capital de l'année précédente.
On note $a_n$ la somme disponible en $2025 + n$. On a donc $a_0 = 20\,000$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $a_1$ et $a_2$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire la nature de la suite $\suiten[a]$. Préciser sa raison.
\end{enumerate}
\item Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
\item À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{B -- Second placement}
\medskip
Avec le placement B, le capital augmente chaque année de $2\,\%$ par rapport au capital de l'année précédente.
On note $b_n$ la somme disponible en $2025 + n$. On a donc $b_0 = 20\,000$.
\begin{enumerate}
\item Détailler le calcul qui permet d'obtenir $b_1 = 20\,400$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$ pour tout entier naturel $n$.
\item En déduire la nature de la suite $\suiten[b]$. Préciser sa raison.
\end{enumerate}
\item Exprimer $b_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
\item Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le capital arrondi à l'euro près. Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.
\medskip
\hfill%
\begin{tikzpicture}
\tableur*[12]{A/2cm,B/2cm}
\colonnetxt*[align=center]{A}{$n$,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
\colonnetxt*[align=center]{B}{$b_n$,20\,000,20\,400,20\,808,21\,224,21\,649,22\,082,22\,523,22\,974,23\,433,23\,902,24\,380}
\end{tikzpicture}%
\hfill\null
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{C -- Bilan}
\medskip
Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu'ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.
\end{ExerciceEAM}
\end{document}