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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
\newcommand{\annee}{2026}
\newcommand{\serie}{Sans spécialité}
\newcommand{\lieu}{Antilles-Guyane}
\newcommand{\jour}{12}
\newcommand{\mois}{juin}
\newcommand{\numsujet}{1}
\newcommand{\codesujet}{26-MATGEAG1}
\newcommand{\nomfichier}{[BAC, épreuve anticipée de mathématiques] \lieu{} (\mois{} \annee)}
\def\listenumexos{1,2}
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\def\repartpts{6,14,6,8}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Probabilités},
{Suites}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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\setenumerate[2]{font=\bfseries,label=\alph*.}
\hypersetup{pdfauthor={Pierquet},pdftitle={\nomfichier},allbordercolors=white,pdfborder=0 0 0,pdfstartview=FitH}
%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily Épreuve anticipée de mathématiques \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \hyperlink{sommaire}{\lieu{} \serie{} - Sujet \numsujet}}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
\lfoot{\scriptsize\sffamily \affloetalab[Legende,TexteLegende={Licence Etalab 2.0}]}
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\DeclareMathSymbol{;}\mathbin{operators}{'73}
\newcommand\Rij{\left(O;\vect{\imath},\,\vect{\jmath}\right)}
\newcommand\suiten[1][u]{\left(#1_n\right)}
\newcommand\vect[1]{\vv{#1}}
\NewDocumentCommand\eamreponsesautom{ O{2} D<>{0.975\linewidth} m m m m }{%
\ExamReponsesQCM%
[Filets,NbCols=#1,PoliceLabels={\bfseries},Labels={a.},Largeur=#2,Swap]%
{{#3},{#4},{#5},{#6}}%
<rowsep=4pt,colsep=8pt>
}
\ifdef{\halignnb}{}{\newcommand\halignnb[2][]{#2}}
\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exoautomat}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Première partie : Automatismes (\nbptsexo[1] points)}\\\\
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exos}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Deuxième partie (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[2]} points)}\\\\
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\xdef\j{\inteval{\i+2}}%
\hspace*{5mm}\textcolor{green!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[X,X]{\nbptsexo[\j]} points)}\\%
\hspace*{12mm}\textcolor{purple}{\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
}%
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.25cm}
\settowidth\tmpemojipen{\hbox{\twemoji[height=1cm]{memo}}}%
\begin{tcolorbox}[enhanced,width=0.875\linewidth,colframe=red!50!black,colback=red!1,flush right,fontupper=\footnotesize\cabin,left=1.25\tmpemojipen,underlay={\draw ([xshift=0.75\tmpemojipen]frame.west) node[] {\twemoji[height=1cm]{memo}} ;}]
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.75cm}
\hfill\pictostamp[radius=2cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\NewDocumentEnvironment{AutomatQuestEAM}{ m }%
{%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Question #1}}
\smallskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\NewDocumentEnvironment{ExerciceEAM}{ m }%
{%
\hypertarget{exon#1}{}%
\tcolorbox[boxrule=1pt,left=2.5mm,right=2.5mm,colframe=darkgray,colback=white,sharp corners=downhill,breakable]
\textbf{\large\scalebox{0.66}[1]{$\blacktriangleright$}~\underline{Exercice #1}~(\nbptsexo[\numexpr#1+2\relax] points)}
\medskip
}%
{%
\endtcolorbox%
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=4cm]{reunion.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{EAM \og \serie{} \fg, \lieu, \mois{} \annee}
\vspace{0.25cm}
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=violet!50!black,colback=violet!1,fontupper=\cabin]
Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spé. de mathématiques.
\medskip
Durée : 2 heures. L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{tcolorbox}
\vspace{0.25cm}
\sujetbaclabelexos{2}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exoautomat}{}\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\smallskip
\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}
\medskip
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
\medskip
\begin{AutomatQuestEAM}{1}
$\dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{10} = $
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$-\dfrac{3}{25}$}{$-\dfrac{1}{5}$}{$\dfrac{1}{10}$}{$\dfrac{1}{5}$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{2}
Laquelle de ces fonctions est représentée graphiquement par une droite ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$f(x) = \dfrac{5}{2}x - 5$}{$g(x) = x^3$}{$h(x) = -\dfrac{1}{x} + 3$}{$i(x) = 2x^2 + 3x + 1$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{3}
Dans le repère ci-dessous sont tracées les droites $(d_1)$, $(d_2)$, $(d_3)$ et $(d_4)$.
La droite ayant pour équation réduite $y = -\dfrac{1}{2}x + 1$ est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$(d_1)$}{$(d_2)$}{$(d_3)$}{$(d_4)$}
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=0.6cm,y=0.6cm,Xmin=-7,Xmax=11,Xgrilles=1,Ymin=-4,Ymax=6,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\scriptsize]{-6,-5,...,10}{-3,-2,...,5}
\DefinirCourbe[Couleur=red,Trace]{0.5x+1}
\DefinirCourbe[Couleur=blue,Trace]{0.5(x-1)}
\DefinirCourbe[Couleur=orange,Trace]{-0.5x+1}
\DefinirCourbe[Couleur=violet,Trace]{-0.5}
\PlacerTexte[Police=\small,Couleur=red]{(7,4)}{$(d_1)$}
\PlacerTexte[Police=\small,Couleur=blue]{(7,2.5)}{$(d_2)$}
\PlacerTexte[Police=\small,Couleur=violet]{(7,-1)}{$(d_3)$}
\PlacerTexte[Police=\small,Couleur=orange]{(7,-3)}{$(d_4)$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{4}
Un automobiliste roule à $60$~km/h de moyenne pendant $2$~h $30$~min. La distance parcourue est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$150$~km}{$140$~km}{$130$~km}{$120$~km}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{5}
Un article à $200$~€ coûtera après une augmentation de $20\,\%$ :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$200 + 0{,}2$}{$200 \times \dfrac{20}{100}$}{$200 \times 1{,}2$}{$100 \times 0{,}20 + 200$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{6}
On développe $(2x-5)^2$. L'expression développée et réduite est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$2x^2 - 10x + 25$}{$4x^2 - 20x - 25$}{$4x^2 - 20x + 25$}{$4x^2 - 25$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{7}
La résistance $R$ (en ohms) d'un appareil est donnée par la formule $R = \dfrac{U^2}{P}$ où $U$ est la tension (en volts) et $P$ la puissance (en watts).
Quelle est la résistance d'un appareil lorsque la tension est de $20$~volts et la puissance de $80$~watts ?
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$\dfrac{1}{2}$}{$2$}{$\dfrac{1}{5}$}{$5$}
\end{AutomatQuestEAM}
\begin{AutomatQuestEAM}{8}
On considère les nombres suivants : $A = \dfrac{1}{8}$, $B = \dfrac{1}{9}$, $C = \dfrac{1}{12}$ et $D = 0{,}1$.
Le plus petit de ces nombres est :
\smallskip
\eamreponsesautom[4]{$A$}{$B$}{$C$}{$D$}
\end{AutomatQuestEAM}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exos}{}\section*{DEUXIÈME PARTIE (\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\begin{ExerciceEAM}{1}
Dans un lycée, on peut s'inscrire à deux clubs qui proposent des activités artistiques ou sportives.
On constate que :
\begin{itemize}
\item $40\,\%$ des élèves inscrits aux clubs ont choisi des activités artistiques ;
\item parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, $20\,\%$ ont aussi choisi des activités sportives ;
\item parmi les élèves n'ayant pas choisi des activités artistiques, $40\,\%$ ont choisi des activités sportives.
\end{itemize}
Parmi l'ensemble des élèves inscrits à ces clubs, on choisit un élève au hasard.
On note les événements suivants :
$A$ : \og l'élève choisi est inscrit à une activité artistique \fg{} ; \quad $S$ : \og l'élève choisi est inscrit à une activité sportive \fg.
\textit{Pour un événement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'événement $F$.}
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P_A(S)$ et $P_{\overline{A}}(S)$.
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant :
\medskip
\def\ArbreExoUn{
$A$/${0,4}$/,
$S$/\numdots/,
$\overline{S}$/\numdots/,
$\overline{A}$/\numdots/,
$S$/\numdots/,
$\overline{S}$/\numdots/
}
\begin{Centrage}
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn}
\end{Centrage}
\item Calculer $P(A \cap S)$ et $P(\overline{A} \cap S)$.
On admet que $P(S) = 0{,}32$.
\item Calculer $P_S(A)$. Interpréter la réponse.
\item Les événements $A$ et $S$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}
\end{ExerciceEAM}
\newpage
\begin{ExerciceEAM}{2}
On compte le nombre d'arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année.
\medskip
\textbf{Partie A -- Première forêt}
\medskip
Dans cette forêt, au $1^{\text{er}}$ janvier 2010, on dénombrait $1\,200$ arbres. On suppose que le nombre d'arbres augmente de $100$ par an.
On modélise cette évolution par la suite $\suiten$ où $u_n$ représente le nombre d'arbres dans cette forêt le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2010 + n$ pour tout entier naturel $n$.
Ainsi on a $u_0 = 1\,200$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter $u_2$ dans le contexte de l'exercice.
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$. En déduire la nature de la suite $\suiten$ et préciser sa raison $r$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item D'après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comptera-t-elle plus de $2\,950$ arbres ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B -- Seconde forêt}
\medskip
Dans cette forêt, au $1^{\text{er}}$ janvier 2010, on dénombrait $1\,000$ arbres. On suppose que le nombre d'arbres augmente de $5\,\%$ par an.
On modélise cette évolution par la suite $\suiten[v]$ où $v_n$ représente le nombre d'arbres dans cette forêt le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2010 + n$ pour tout entier naturel $n$.
Ainsi on a $v_0 = 1\,000$.
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'arbres au $1^{\text{er}}$ janvier 2011.
\item Déterminer la nature de la suite $\suiten[v]$ et préciser sa raison $r$.
\item D'après ce modèle, on estime qu'au $1^{\text{er}}$ janvier 2030, il y aura environ $2\,653$ arbres sur la parcelle. Quel terme de la suite a-t-on calculé ? Quel a été le calcul effectué ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C -- Comparaison des évolutions}
\medskip
Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d'arbres arrondi à l'unité dans les deux forêts.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={*{10}{Q[1.125cm,c,m]}}}
$n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & \ldots & 26 & 27 & 28 & \textbf{29} \\
$u_n$ & 1\,200 & 1\,300 & 1\,1400 & 1\,500 & \ldots & 3\,800 & 3\,900 & 4\,000 & \textbf{4\,100} \\
$v_n$ & 1\,000 & 1\,050 & 1\,103 & 1\,158 & \ldots & 3\,556 & 3\,733 & 3\,920 & \textbf{4\,116} \\
\end{tblr}
\hfill\null
\medskip
Interpréter dans le contexte de l'exercice les résultats de la dernière ligne.
\end{ExerciceEAM}
\end{document}