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\documentclass[french,a4paper,11pt]{article}
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\newcommand{\session}{2026}
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\newcommand{\serie}{Gé.}
\newcommand{\lieu}{Centres Étrangers}
\newcommand{\jour}{11}
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\newcommand{\codesujet}{26-MATJ2G11}
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\def\listenumexos{1,2,3,4}
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\def\repartpts{4,4,6,6}\readlist*\nbptsexo{\repartpts}
\def\repartthemes{%
{Géométrie dans l'espace / Plan / Distance},
{Probabilités / Loi binomiale / Inégalité de Bienaymé-Tchebychev},
{Logarithme / Suites / Python},
{Équations différentielles / Intégration par parties}
}\readlist*\themessexo{\repartthemes}
\title{\nomfichier}
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%transcription principale faite par claude.ai
\lhead{\scriptsize\sffamily BAC \serie{} \session}
\chead{\scriptsize\sffamily \lieu{} - Sujet \numsujet}
\rhead{\scriptsize\sffamily \jour{} \mois{} \annee{}}
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\newlength\tmpemojipen
\newcommand\sujetbaclabelexos[1]{%
\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
\end{tcolorbox}%
\vspace*{0.5cm}
\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{ce.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère :
\begin{itemize}
\item les points de l'espace $A(1;0;3)$, $B(2;1;-1)$, $C(1;1;1)$ et $H(0;2;1)$ ;
\item le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan de l'espace.
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
\item Vérifier que le point $H$ appartient au plan $(ABC)$.
\item Déterminer la mesure en degré de l'angle $\widehat{BAH}$.
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $H$.
\item Déterminer les coordonnées du point $S(x_S;y_S;z_S)$ de la droite $(d)$ tel que :
\begin{itemize}
\item la distance entre le point $S$ et le plan $(ABC)$ est $6$ ;
\item son abscisse $x_S$ est positive.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\medskip
Parmi les habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France, on compte :
\begin{itemize}
\item $21\,\%$ de personnes de 15 à 29 ans ;
\item $46\,\%$ de personnes de 30 à 59 ans ;
\item $33\,\%$ de personnes d'au moins 60 ans.
\end{itemize}
On s'intéresse à l'utilisation d'un réseau social par les habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France. On a ainsi pu observer que :
\begin{itemize}
\item $70\,\%$ des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
\item $46\,\%$ des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social ;
\item $15\,\%$ des personnes d'au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.
\end{itemize}
On interroge une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.
On note :
\begin{itemize}
\item $J$ l'événement : \og la personne interrogée a entre 15 et 29 ans \fg{} ;
\item $M$ l'événement : \og la personne interrogée a entre 30 et 59 ans \fg{} ;
\item $S$ l'événement : \og la personne interrogée a au moins 60 ans \fg{} ;
\item $R$ l'événement : \og la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social \fg{}.
\end{itemize}
On note $\bar{R}$ l'événement contraire de l'événement $R$.
Dans tout l'exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.
\medskip
\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité.
\medskip
\def\ArbreExoDeux{
$J$//,
$R$//,
$\overline{R}$//,
$M$//,
$R$//,
$\overline{R}$//,
$S$//,
$R$//,
$\overline{R}$//
}
\begin{Centrage}
\ArbreProbasTikz[Type=3x2,PositionProbas=auto]{\ArbreExoDeux}
\end{Centrage}
\item Déterminer $P(M \cap R)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On interroge au hasard une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'elle ait déjà publié sur ce réseau social.
\item On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social. Déterminer la probabilité qu'elle ait au moins 60 ans.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Au cours d'un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, 100 personnes âgées d'au moins 15 ans vivant en France et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau social. La population du pays est suffisamment grande pour qu'on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces 100 personnes interrogées.
Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est $0{,}41$.
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.
\item Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
On effectue le sondage décrit dans la \textbf{partie B} dans 150 villes françaises en respectant les mêmes conditions.
On note $X_1, X_2, \ldots, X_{150}$ les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les 100 personnes interrogées dans chacune des 150 villes.
On considère $Y$ la variable aléatoire définie par
\[
Y = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_{150}}{150}.
\]
Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire $Y$ soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à $98\,\%$.
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ par $f(x) = \ln(3x^2 + 2x)$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$.
\item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ par $g(x) = f(x) - x$.
On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$.
\item Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
\item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans cette partie, les réponses pourront s'appuyer sur les résultats de la \textbf{partie A}.
On définit une suite $\suiten[a]$ par son premier terme $a_0 > 0$ et pour tout entier naturel $n$,
\[
a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)
\]
On étudie le cas où $2 \leqslant a_0 \leqslant \alpha$, où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant a_n \leqslant \alpha$.
\item Démontrer que la suite $\suiten[a]$ est croissante.
\item Démontrer que la suite $\suiten[a]$ converge.
\item Démontrer que la limite de la suite $\suiten[a]$ est $\alpha$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
Dans cette partie, on prend $a_0 = 2$. La suite $\suiten[a]$ est ainsi définie par $a_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)$.
On note $\suiten[b]$ la suite définie par $b_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = \ln(3b_n^2 + 2b_n)$.
On admet que la suite $\suiten[b]$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $\alpha$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n \leqslant b_n$.
\item On considère le script ci-dessous écrit en langage \textsf{Python}.
\begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center}
from math import *
def algo(p) :
a = 2
b = 10
n = 0
while b - a > 10**(-p) :
a = log(3*a**2 + 2*a)
b = log(3*b**2 + 2*b)
n = n + 1
return (n, a)
\end{CodePythonLstAlt}
On rappelle qu'en langage \textsf{Python} :
\begin{itemize}
\item la commande \texttt{log(c)} renvoie la valeur de $\ln(c)$ ;
\item la commande \texttt{a**2} renvoie la valeur de $a^2$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs renvoyées par l'instruction \texttt{algo(2)}. \textit{On arrondira si besoin les valeurs au millième.}
\item Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$.
Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=1.75cm,y=7cm,Xmin=0,Xmax=6,Xgrilles=1,Xgrilles=0.2,Ymin=-0.6,Ymax=1.2,Ygrille=0.5,Ygrilles=0.1]
\tikzset{pflcourbe/.style={line width=1.1pt}}
\TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm,Origine]{1,...,6}{-0.5,0.5,1}
\DefinirCourbe[Nom=cun,Trace,Couleur=blue,StyleTrace=dotted]<f>{(x^2-3*x+2)*exp(-x)}
\TracerDerivee[Nom=cdeux,Couleur=red,StyleTrace=dashed]{f}
\DefinirCourbe[Nom=ctrois,Trace,Couleur=violet]{(x^2-7*x+10)*exp(-x)}
\PlacerTexte[Couleur=blue,Position=right]{(0.225,1)}{$C_1$}
\PlacerTexte[Couleur=violet,Position=right]{(1.2,1)}{$C_2$}
\PlacerTexte[Couleur=red,Position=left]{(1,-0.4)}{$C_3$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
Associer chacune des fonctions $f$, $f'$ et $f''$ à sa courbe représentative. \textit{Aucune justification n'est attendue.}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y' + y = (2x-3)\e^{-x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$.
\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x^2 - 3x)\e^{-x}$.
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' + y = 0$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 2$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \e^{-x}(x^2 - 3x + 2)$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\item On note $I$ l'intégrale définie par :
\[
I = \int_0^1 f(x)\,\dx
\]
\begin{enumerate}
\item À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $I = 1 - \dfrac{1}{\e}$.
\item Interpréter graphiquement ce résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie D}
\medskip
On considère un réel $a$.
On note $(T_a)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_a)$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)\e^{-a}$.
\item Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ passant par l'origine du repère. \textit{Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.}
\end{enumerate}
\end{document}