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{Probabilités / Variables aléatoires / Bienaymé-Tchebychev},
{Équations différentielles / Suites},
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{Logarithme / Convexité / Intégration par parties}
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%transcription principale faite par claude.ai
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\begin{tcolorbox}[width=0.875\linewidth,colframe=blue!50!black,colback=blue!1]
\foreach \i in {1,...,#1}{%
\textcolor{blue!50!black}{\hyperlink{exon\i}{\faLink}~~\Large\bfseries\cabin Exercice \halignnb[\listenumexos]{\i} (\halignnb[\repartpts]{\nbptsexo[\i]} points)}\\%
\hspace*{5mm}\textcolor{purple}{\large\cabin{\vphantom{\Large()}$\blacktriangleright$~\themessexo[\i]}}\ifnum\i=#1\relax\else\\\\\fi%
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L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé.\\
L'usage de la calculatrice sans mémoire « type collège » est autorisé.\\
La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. \\
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
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\hfill\pictostamp[radius=1.75cm,maincolor=violet!50!black]{\codesujet}\hfill\null
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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\ifdef{\pflpictobac}{\hfill\pflpictobac[height=5cm]{reunion.v1}\hfill\null}{\hfill\Huge\faGraduationCap\hfill\null}
\part*{\lieu{}, Bac \serie{}, \jour{} \mois{} \annee, sujet n°\numsujet}
\vspace{1cm}
\sujetbaclabelexos{4}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon1}{}\section*{Exercice 1\dotfill{}(\nbptsexo[1] points)}
%===============================================================
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
L'agence de sûreté nucléaire ASNR contrôle les installations des centrales nucléaires afin de garantir leur sécurité et leur conformité. La fréquence des contrôles dépend de l'état du réacteur.
On considère que dans le parc nucléaire français :
\begin{itemize}
\item $20\,\%$ des réacteurs sont en arrêt pour maintenance ;
\item $5\,\%$ des réacteurs fonctionnent au ralenti ;
\item le reste des réacteurs du parc nucléaire est en état de fonctionnement normal.
\end{itemize}
On considère également que parmi les réacteurs en arrêt, $85\,\%$ sont contrôlés et que parmi les réacteurs fonctionnant au ralenti, $60\,\%$ sont contrôlés.
On choisit au hasard un réacteur dans le parc nucléaire français, et on note :
\begin{itemize}
\item $A$ l'événement \og Le réacteur est en arrêt \fg{} ;
\item $R$ l'événement \og Le réacteur fonctionne au ralenti \fg{} ;
\item $N$ l'événement \og Le réacteur fonctionne normalement \fg{} ;
\item $C$ l'événement \og Le réacteur subit un contrôle \fg.
\end{itemize}
Pour un événement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son événement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.
On note $x$ la probabilité que le réacteur subisse un contrôle sachant qu'il fonctionne normalement, c'est-à-dire $x = P_N(C)$.
\begin{wrapstuff}[r]
\def\ArbreExoUn{
$A$/\numdots/,
$C$/\numdots/,
$\overline{C}$/\numdots/,
$R$/\numdots/,
$C$/\numdots/,
$\overline{C}$/\numdots/,
$N$/\numdots/,
$C$/$x$/,
$\overline{C}$/\numdots/
}%
\ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,Type=3x2,EspaceFeuille=0.725,EspaceNiveau=2]{\ArbreExoUn}
\end{wrapstuff}
\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre des probabilités ci-contre en complétant les pointillés à l'aide des données de l'énoncé.
\item Calculer la probabilité que le réacteur soit en arrêt et qu'il subisse un contrôle.
On sait de plus que la probabilité qu'un réacteur du parc nucléaire soit contrôlé est égale à $0{,}35$.
\item Montrer que la probabilité $x$ est égale à $0{,}2$.
\item Le réacteur choisi subit un contrôle. Déterminer la probabilité qu'il fonctionne normalement.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Dans le Sud de la France, on compte $12$ réacteurs nucléaires qu'on numérote de $1$ à $12$.
On sait que lorsque le réacteur fonctionne normalement, sa production journalière est égale à $16$~GWh (gigawattheure), lorsque le réacteur fonctionne au ralenti, sa production journalière est réduite à $10$~GWh et enfin lorsque le réacteur est à l'arrêt, sa production journalière est nulle.
On rappelle que $P(N) = 0{,}75$, $P(R) = 0{,}05$ et $P(A) = 0{,}20$.
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh d'un réacteur.
\begin{enumerate}
\item Recopier le tableau ci-dessous et compléter les pointillés donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. On notera $k$ les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ et $p_k$ les probabilités égales à $P(X = k)$.
\medskip
\hfill%
\begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.75\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}}
$k$ & $0$ & \numdots & \numdots \\
$p_k$ & $0{,}20$ & \numdots & \numdots \\
\end{tblr}%
\hfill\null
\medskip
\item Montrer que l'espérance $\Esper{X}$ de la variable aléatoire $X$ est égale à $12{,}5$ et que sa variance $\Varianc{X}$ est égale à $40{,}75$.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $i$ compris entre $1$ et $12$, on note $X_i$ la variable aléatoire qui modélise la production journalière en GWh du $i$-ième réacteur.
On suppose que les variables $X_1$, $X_2$, \ldots, $X_{12}$ suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $X$, et qu'elles sont indépendantes.
On considère la variable aléatoire $S$ qui donne la production totale journalière des $12$ réacteurs. On a ainsi $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{12}$.
On note $\Esper{S}$ l'espérance de la variable aléatoire $S$ et $\Varianc{S}$ sa variance.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\Esper{S} = 150$ et $\Varianc{S} = 489$.
\item Afin d'éviter le risque de surcharge du réseau et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité, la production totale journalière des $12$ réacteurs doit être comprise strictement entre $100$~GWh et $200$~GWh.
Peut-on affirmer que la probabilité d'éviter le risque de surcharge et de couvrir l'ensemble des besoins en électricité est supérieure à $0{,}80$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon2}{}\section*{Exercice 2\dotfill{}(\nbptsexo[2] points)}
%===============================================================
\medskip
Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.
La notice du médicament indique que :
\begin{itemize}
\item le traitement doit durer au moins $7$~h ;
\item lorsque sa quantité, en mg, présente dans le sang est supérieure ou égale à $3$~mg, il y a un risque de toxicité.
\end{itemize}
On s'intéresse à la quantité de médicament présente dans le sang au cours du temps sachant que le patient reçoit une première dose de $1$~mg.
Deux protocoles sont étudiés dans les deux parties qui sont indépendantes.
\medskip
\textbf{Partie A : étude du premier protocole}
\medskip
Après l'injection de la première dose, une quantité supplémentaire de médicament est administrée régulièrement et de façon continue à un patient mis sous perfusion.
Dans cette partie, on modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient par une fonction $q$ définie sur $\intervFO{0}{+\infty}$, où $q(t)$ désigne la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient, et $t$ représente le temps, en heure, écoulé depuis l'injection initiale. On a ainsi $q(0) = 1$.
On admet que :
\begin{itemize}
\item la fonction $q$ est dérivable sur $\intervFO{0}{+\infty}$ et on note $q'$ sa fonction dérivée ;
\item la fonction $q$ est solution sur $\intervFO{0}{+\infty}$ de l'équation différentielle $(E)$ :%
\[
y' = -\frac{3}{10}\,y + 1
\]
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, et $y'$ sa fonction dérivée.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Donner les solutions sur $\intervFO{0}{+\infty}$ de l'équation différentielle $(E)$.
\item Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à $\intervFO{0}{+\infty}$, $q(t) = \frac{10}{3} - \frac{7}{3}\,\e^{-\frac{3}{10}t}$.
\item Déterminer la limite de la fonction $q$ en $+\infty$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\item Étudier les variations de la fonction $q$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$.
\item Déterminer, en résolvant une inéquation, au bout de combien de temps après l'injection initiale le médicament présente un risque pour le patient. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$.
\item D'après ce modèle, le protocole présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : étude du second protocole}
\medskip
On injecte au patient une première dose de médicament de $1$~mg. On admet que la quantité de médicament présente dans le sang du patient baisse de $30\,\%$ toutes les heures. Pour compenser cette baisse, on injecte une dose supplémentaire de $0{,}75$~mg de médicament toutes les heures.
On modélise la situation par une suite $\suiten$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente la quantité, en mg, de médicament présente dans le sang du patient au bout de $n$ heures écoulées depuis l'injection initiale.
Sous ces conditions, on a $u_0 = 1$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0{,}7 \times u_n + 0{,}75$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$.
\item En déduire que la suite $\suiten$ est convergente.
\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\suiten$.
\item D'après ce modèle, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ? Justifier.
\end{enumerate}
\item On considère la suite $\suiten[v]$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 2{,}5$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\suiten[v]$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2{,}5 - 1{,}5 \times 0{,}7^n$.
\end{enumerate}
\item D'après ce modèle, au bout de combien d'injections supplémentaires la quantité de médicament présente dans le sang de ce patient dépasse-t-elle $2{,}4$~mg ?
\end{enumerate}
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon3}{}\section*{Exercice 3\dotfill{}(\nbptsexo[3] points)}
%===============================================================
\medskip
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse donnée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}
\medskip
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\Rijk$.
On considère :
\begin{itemize}
\item les points $S(-1;\sqrt{2};-4)$, $A(2;\sqrt{2};-1)$, $B(1;\sqrt{2};0)$ et $C(2;0;-1)$ ;
\item la droite $d$ dont une représentation paramétrique est donnée par :
\[
\begin{cases} x = 2 - k \\ y = \sqrt{2}\,k \\ z = -1 - k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R} \,;
\]
\item le plan $P$ dont une équation cartésienne est : $x - z + 1 = 0$.
\end{itemize}
On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
\medskip
\textbf{Affirmation 1 :}
Le vecteur $\vect{SA}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
\medskip
\textbf{Affirmation 2 :}
Les droites $(SB)$ et $d$ sont sécantes.
\medskip
\textbf{Affirmation 3 :}
La droite $d$ est parallèle au plan $P$.
\medskip
\textbf{Affirmation 4 :}
Le projeté orthogonal de $S$ sur le plan $P$ est le point $H$ de coordonnées $(-3;\sqrt{2};-2)$.
\pagebreak
%===============================================================
\hypertarget{exon4}{}\section*{Exercice 4\dotfill{}(\nbptsexo[4] points)}
%===============================================================
\medskip
\textbf{Partie A : lecture graphique}
\medskip
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$.
On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.
On a tracé, dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction $f$, notée $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente $T$ à $\mathcal{C}$ au point $A(1;0)$. On précise que $T$ passe par le point $B(0;-2)$.
\begin{Centrage}
\begin{GraphiqueTikz}[x=2.1cm,y=0.7cm,Xmin=-0.25,Xmax=5.25,Xgrilles=1,Ymin=-3.25,Ymax=6.26,Ygrilles=1]
\TracerAxesGrilles*[Origine]{}{}
\RajouterValeursAxeX{1}{1}\RajouterValeursAxeY{1}{1}
\DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0.50125,Pas=0.01]{x*log(2*x-1)}
\TracerCourbe[Couleur=red,StyleTrace=dashed]{2*x-2}
\MarquerPts[Couleur=black,Style=o]{(1,0)/$A$/above left,(0,-2)/$B$/above left}
\PlacerTexte[Couleur=blue]{(3.125,5.75)}{$\mathcal{C}$}
\PlacerTexte[Couleur=red]{(3.875,5.25)}{$T$}
\end{GraphiqueTikz}
\end{Centrage}
On répondra aux questions suivantes en les justifiant à l'aide du graphique.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(1)$.
\item La fonction $f$ est-elle concave sur $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ ?
\item Déterminer $f''(1)$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B : étude de fonction}
\medskip
On admet que la fonction représentée graphiquement dans la partie A est définie sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ par :
\[
f(x) = x\ln(2x-1)
\]
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On rappelle que :
\begin{itemize}
\item la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$, que $f'$ désigne sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde ;
\item $\mathcal{C}$ désigne la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant, la limite de la fonction $f$ en $\dfrac{1}{2}$. En déduire une interprétation graphique.
\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$.
\item On admet que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ :
\[
f'(x) = \ln(2x-1) + \frac{2x}{2x-1}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$ :
\[
f''(x) = \frac{4(x-1)}{(2x-1)^2}.
\]
\item Montrer que $\mathcal{C}$ admet un unique point d'inflexion et que ce point est l'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $\intervFF{1}{2}$.
\item On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{2}}{+\infty}$, on a :
\[
\frac{x^2}{2x-1} = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} \times \frac{2}{2x-1}.
\]
Montrer que :
\[
\int_1^2 \frac{x^2}{2x-1}\,\dx = 1 + \frac{1}{8}\ln(3).
\]
\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 2$.
En vous aidant d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$ en unité d'aire.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie C : généralisation}
\medskip
On désigne par $a$ un réel strictement positif et par $f_a$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$ par :
\[
f_a(x) = x\ln(ax - 1).
\]
On admet que $f_a$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$. On note $f_a'$ sa fonction dérivée, $f_a''$ sa fonction dérivée seconde, et $\mathcal{C}_a$ sa représentation graphique.
On admet que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\intervOO{\frac{1}{a}}{+\infty}$ :
\[
f_a''(x) = \frac{a(ax-2)}{(ax-1)^2}.
\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $a$ strictement positif, la courbe $\mathcal{C}_a$ admet un unique point d'inflexion $A_a$.
\item Montrer que les points $A_a$ sont alignés, $a$ appartenant à $\intervOO{0}{+\infty}$.
\end{enumerate}
\end{document}