%bac2026gt-tech-fr-juin-sujet2-exo4 Une entreprise produit et vend chaque mois jusqu'à $40\,000$ enceintes. Ses coûts de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers d'enceintes produites et vendues sont modélisés par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[0;40]$ par : \[ C(x) = 2x^2 + 4x + 530. \] L'entreprise fixe le prix de vente d'une enceinte à $96$~€. L'entreprise étudie, à l'aide d'une feuille de calcul, le bénéfice qu'elle peut réaliser en fonction du nombre d'enceintes produites et vendues : \medskip \begin{Centrage} \storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries Nombre d'enceintes}{\pastableurcolA}% \storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries Coûts de production}{\pastableurcolB}% \storewidthtolength[4mm]{\small\bfseries (en milliers d'euros)}{\pastableurcolC}% \begin{tikzpicture} \gentableur[10]% {A/\pastableurcolA,B/\pastableurcolB,C/\pastableurcolB,D/\pastableurcolB}% [3em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em,1.85em] \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolA]{A}{1}{Nombre d'enceintes\\(en milliers)} \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{B}{1}{Coûts de production\\(en milliers d'euros)} \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{C}{1}{Recette\\(en milliers d'euros)} \celtxt[align=center,font={\small\bfseries},width=\pastableurcolB]{D}{1}{Bénéfice\\(en milliers d'euros)} \colonnetxt*[align=center]{A}<2>{$0$,$5$,$10$,$15$,$20$,$25$,$30$,$35$,$40$} \colonnetxt*[align=center]{B}<2>{$530$,$600$,$770$,$1040$,$1410$,$1880$,$2450$,$3120$,$3890$} \colonnetxt*[align=center]{C}<2>{$0$,$480$,$960$,$1440$,$1920$,$2400$,$2880$,$3360$,$3840$} \colonnetxt*[align=center]{D}<2>{$-530$,$-120$,$190$,$400$,$510$,$520$,$430$,$240$,$-50$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Écrire, sans l'effectuer, un calcul permettant d'obtenir les valeurs $960$ et $190$ de la ligne $4$ du tableau. \item Sans effectuer de calcul et en utilisant les résultats fournis par la feuille de calcul ci-dessus, répondre aux deux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Quels sont les coûts de production de $30\,000$ enceintes ? \item Justifier qu'en vendant $5\,000$ enceintes, l'entreprise n'est pas bénéficiaire. \end{enumerate} \end{enumerate} Le bénéfice réalisé (en milliers d'euros) pour $x$ milliers d'enceintes produites et vendues est modélisé par la fonction $B$ définie, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0;40]$, par $B(x) = -2x^2 + 92x - 530$. \begin{enumerate}[resume] \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$. \item Justifier que $B'$ est positive ou nulle sur $[0;23]$ et négative ou nulle sur $[23;40]$. \item \begin{enumerate} \item Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0;40]$. \item On admet que le bénéfice maximal vaut $528$ milliers d'euros. Indiquer cette valeur dans le tableau de variations. \end{enumerate} \item Pour quel nombre d'enceintes produites et vendues le bénéfice est-il maximal ? \end{enumerate}