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%bac2026gt-tech-fr-juin-sujet2-exo3 En 2026, Monsieur Egg possède un élevage de $800$ poules nourries au blé. \begin{enumerate} \item Au regard des années précédentes, on estime que le nombre de poules élevées par Monsieur Egg augmente de $2\,\%$ par an. On modélise cette augmentation par la suite $\suiten[u]$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de poules élevées l'année $2026 + n$ suivant ce modèle. On a $u_0 = 800$. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre de poules qu'aura Monsieur Egg en 2027. \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, pour tout entier naturel $n$. \item Déterminer la nature de la suite $\suiten[u]$ et préciser sa raison. \end{enumerate} \item En 2026, Monsieur Egg peut nourrir au maximum $900$ poules. En améliorant la qualité de ses cultures, il estime qu'il peut nourrir au maximum $10$ poules de plus chaque année. Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le nombre maximum de poules que peut nourrir Monsieur Egg en $2026 + n$ suivant ce modèle. On a $v_0 = 900$. \begin{enumerate} \item Calculer $v_1$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice. \item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$, pour tout entier naturel $n$. \item Déterminer la nature de la suite $\suiten[v]$, et préciser sa raison. \end{enumerate} \end{enumerate} On donne, dans le tableau ci-dessous, les valeurs des premiers termes de chacune des suites $\suiten[u]$ et $\suiten[v]$. Les valeurs obtenues sont arrondies à l'unité. \medskip \begin{Centrage} \begin{tblr}{width=5.5cm,hlines,vlines,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]},row{1}={font=\bfseries}} Indice $\bm{n}$ & $\bm{u_n}$ & $\bm{v_n}$ \\ 0 & 800 & 900 \\ 1 & 816 & 910 \\ 2 & 832 & 920 \\ \dots & \dots & \dots \\ 8 & 937 & 980 \\ 9 & 956 & 990 \\ 10 & 975 & 1000 \\ 11 & 995 & 1010 \\ 12 & 1015 & 1020 \\ 13 & 1035 & 1030 \\ 14 & 1056 & 1040 \\ 15 & 1077 & 1050 \\ \end{tblr} \end{Centrage} \begin{enumerate}[resume] \item D'après les valeurs obtenues dans le tableau ci-dessus, à partir de quelle année Monsieur Egg ne pourra-t-il plus nourrir toutes ses poules ? \end{enumerate}
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