%bac2026gt-tech-fr-juin-sujet1-exo3 Une salle de sport propose deux offres d'abonnement : \begin{itemize} \item Abonnement n°1 : $250$~€ en 2026 puis une augmentation de $30$~€ par an. \item Abonnement n°2 : $200$~€ en 2026 puis une augmentation de $10\,\%$ par an. \end{itemize} \textbf{Les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A : Abonnement n°1.} \medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ le montant de l'abonnement n°1 pour l'année $2026 + n$. On a ainsi $a_0 = 250$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer le montant de l'abonnement pour 2027. \item Calculer $a_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$. \item En déduire la nature de la suite $\suiten[a]$ et préciser sa raison. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Abonnement n°2.} \medskip \begin{wrapstuff}[r] \begin{tikzpicture} %\tabnumlinewidth{1.57em} \tableur*[16]{A/1.15cm,B/1.65cm,C/1.65cm,D/1.65cm}% %entête \remplircases[align=center]{% $n$ & $a_n$ & $b_n$ & $c_n$ } %valeurs \colonnetxt*[align=right,width=1.15cm]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{B}<2>{250\,€,280\,€,310\,€,340\,€,370\,€,400\,€,430\,€,460\,€,490\,€,520\,€,550\,€,580\,€,610\,€,640\,€,670\,€} \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{C}<2>{200\,€,220\,€,242.00\,€,266.20\,€,292.82\,€,322.10\,€,354.31\,€,389.74\,€,428.72\,€,471.59\,€,518.75\,€,570.62\,€,627.69\,€,690.45\,€,759.50\,€} \colonnetxt*[align=right,width=1.65cm]{D}<2>{50\,€,60\,€,68\,€,73.80\,€,77.18\,€,77.90\,€,75.69\,€,70.26\,€,61.28\,€,48.41\,€,31.25\,€,9.38\,€,-17.69\,€,-50.45\,€,-89.50\,€} \selecCell{D}{2} \end{tikzpicture}% \end{wrapstuff} Pour tout entier naturel $n$, on note $b_n$ le montant de l'abonnement n°2 pour l'année $2026 + n$. On a ainsi $b_0 = 200$. \begin{enumerate} \item Justifier que le montant de l'abonnement en 2027 s'élève à $220$~€. \item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}$ en fonction de $b_n$. \item En déduire la nature de la suite $\suiten[b]$ et préciser sa raison. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Comparaison des offres.} \medskip Pour tout entier naturel $n$ on note $c_n = a_n - b_n$. Les premiers termes des suites $\suiten[a]$, $\suiten[b]$ et $\suiten[c]$ sont donnés sur la feuille de calcul ci-contre. \begin{enumerate} \item Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, doit-on écrire dans la cellule \textsf{D2} ? \item À partir de quelle année le montant de l'abonnement n°2 devient-il plus élevé que le montant de l'abonnement n°1 ? \end{enumerate}