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%bac2026gt-tech-asie-juin-sujet1-exo2 Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$, dont on a tracé la courbe représentative notée $\mathcal{C}_f$, dans un repère orthonormé, sur l'intervalle $[-1\,;\,3]$. On a tracé la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$, au point d'abscisse $2$, notée T. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.25cm,y=1.25cm,Xmin=-2.8,Xmax=4.2,Xgrilles=0.2,Ymin=-1.2,Ymax=5.8,Ygrilles=0.2]<Theme=gris> \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{-2,-1,...,4}{-1,0,...,5} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=-1,Fin=3]{-x^3+3*x^2} \TracerCourbe[Couleur=orange]{4} \node[orange,below left] at (4,4) {$T$} ; \node[blue,above] at (3,2) {$\mathcal{C}_f$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \textbf{A : Lecture graphique} \begin{enumerate} \item Lire l'image de $2$ par la fonction $f$. \item Déterminer graphiquement le nombre dérivé $f'(2)$. \item Déterminer, par lecture graphique, l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B : Étude et variations} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie par $f(x) = -x^3 + 3x^2$ sur $\mathbb{R}$. \begin{enumerate}[resume] \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. \begin{enumerate} \item Calculer $f'(x)$ en détaillant les calculs. \item Vérifier que, pour tout réel $x$, $f'(x) = -3x(x-2)$. \end{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1\,;\,3]$, en y faisant figurer ses extremums. \item Calculer $f(2)$ et $f'(2)$ et retrouver l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$. \end{enumerate}
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