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%%bac2026gt-tech-all-janvier-sujet1-exo3.tex \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-7.5mm] \begin{GraphiqueTikz}[x=0.75cm,y=0.15cm,Xmin=-2.5,Xmax=6.5,Xgrilles=1,Ymin=-12.5,Ymax=17.5,Ygrille=5,Ygrilles=5] \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small,Origine]{1}{5} \TracerCourbe[Couleur=blue]< t >{-6*x+12} \TracerCourbe[Couleur=red,Debut=-2,Fin=6]< f >{0.5*x^(3)-3*x^(2)+8} \PlacerTexte[Couleur=red,Position=below right,Police=\small]{(5,-5)}{$\mathcal{C}$} \PlacerTexte[Couleur=blue,Police=\small]{(-0.75,13.5)}{$T$} \end{GraphiqueTikz} \end{wrapstuff} On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2 ; 6]$. Sa courbe représentative, notée $\mathcal{C}$ est donnée ci-contre. \begin{itemize} \item On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points de coordonnées $(0 ; 8)$, $(2 ; 0)$ et $(4 ;-8)$. \item On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x=2$. \item On sait que la tangente $T$ coupe l'axe des ordonnées en $y=12$. \end{itemize} On note $f^{\prime}$ la fonction dérivée de $f$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les valeurs de $f(2)$ et $f^{\prime}(2)$. \item Donner une équation de la tangente $T$. \item Recopier et compléter le tableau de variation ci-dessous en utilisant le graphique. \end{enumerate} \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$/0.8,$f$/1.6}{$-2$,$0$,$4$,$6$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \item On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-2 ; 6]$ par $f(x)=0,5 x^{3}-3 x^{2}+8$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-2 ; 6]$, on a $f^{\prime}(x)=1,5 x(x-4)$. \item Étudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et retrouver le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2 ; 6]$. \end{enumerate} \item On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 2]$ on a $f(x) \leq-6 x+12$. Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $T$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$ ? \end{enumerate}
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