%bac2026gt-tech-all-janvier-sujet1-exo2.tex Une biologiste désire étudier l'évolution de la population de singes sur une île. En 2025, elle estime qu'il y a \num{1000} singes sur l'île. \medskip \textbf{A. Premier modèle.} \medskip Chaque année, la population de singes baisse de $10\,\%$. \begin{enumerate} \item Montrer qu'en 2026, il y aura 900 singes sur l'île. \item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025+n$. On a donc $u_{0}=\num{1000}$. \begin{enumerate} \item Indiquer ce que représente $u_{2}$ et calculer sa valeur. \item Déterminer la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ et préciser sa raison. \item Donner les variations de cette suite. \end{enumerate} \item Selon ce modèle, la population de singes est-elle menacée d'extinction ? Justifier. \end{enumerate} \textbf{B. Second modèle} \medskip On admet que l'évolution du nombre de singes est modélisée par la suite $\left(v_{n}\right)$ ainsi définie : \[ \begin{cases} v_{n+1}=0,9 v_{n}+150~;~n \in \N \\ v_{0}=\num{1000} \end{cases} \] % où $v_{n}$ désigne le nombre de singes sur l'île pour l'année $2025+n$. \begin{wrapstuff}[r] \begin{tikzpicture}[scale=0.825,transform shape] \tableur*[21]{A/2cm,B/2cm} \celtxt*[align=center,font=\bfseries]{A}{1}{n} \colonnetxt*[align=center]{A}<2>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19} \celtxt*[align=center,font=\bfseries]{B}{1}{Vn} \colonnetxt*[align=center]{B}<2>{1000,1050,109,1136,1172,1205,1234,1261,1285,1306,1326,1343,1359,1373,1386,1397,1407,1417,1425,1432} \end{tikzpicture} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Avec ce modèle, quelle sera la population de singes en 2026 ? Détailler le calcul. \item La feuille de calcul ci-contre donne les valeurs arrondies à l'unité des premiers termes de la suite $\left(v_{n}\right)$. Quelle formule, destinée à être étirée vers le bas, faut-il saisir dans la cellule \AffVignette[Type=sheet,Police=\footnotesize\sffamily]{B3} pour obtenir les termes de la suite $\left(v_{n}\right)$ ? \item Indiquer en quelle année, la population de singes dépassera pour la première fois 1400 individus. \end{enumerate} \vspace*{6cm}