%bac2026gt-spec-poly-juin-sujet1-exo2 Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi. On sait que : \begin{itemize} \item un quart des clients participent aux randonnées, \item parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi, \item parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi. \end{itemize} On choisit un client du club de vacances au hasard et on note : \begin{itemize} \item $R$ l'évènement : \og le client participe à la randonnée \fg, \item $N$ l'évènement : \og le client participe aux activités nautiques \fg. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation. \medskip \def\ArbreExoUn{ $R$/\numdots/, $N$/\numdots/, $\overline{N}$/\numdots/, $\overline{R}$/\numdots/, $N$/\numdots/, $\overline{N}$/\numdots/ } \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn} \end{Centrage} \item Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est $\dfrac{3}{8}$. \item Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ? \item Les évènements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ? Justifier. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip En 2025, le club de vacances a accueilli $400$ clients. Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite $\suiten$ définie par : \[ u_0 = 400 \text{ et pour tout entier naturel } n \text{, } u_{n+1} = 1{,}025\,u_n. \] où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l'année $2025 + n$. \begin{enumerate} \item Donner la nature de la suite $\suiten$ en précisant sa raison. \item Selon ce modèle, quel est le taux d'évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ? \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter la fonction \texttt{seuil}, codée en \textsf{Python}, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $k$, où $k$ est un entier naturel non nul. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def seuil(k) : u = 400 n = 0 while ...... : n = ... u = ... return ... \end{CodePythonLstAlt} \item Le tableau ci-dessous a été extrait d'une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de $1{,}025^n$ pour certaines valeurs de $n$. Déterminer la valeur renvoyée par l'instruction \texttt{seuil(600)}, où \texttt{seuil} est la fonction codée en \textsf{Python} donnée en 3.a). Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \medskip \begin{wrapstuff}[r,rightsep=5mm] \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3.5cm,Attache=Non,Inclinaison=5] \textbf{\underline{Aide au calcul}} : \smallskip ~~$400\times1,5=600$ \end{PostIt}% \end{wrapstuff} \hfill% \begin{tikzpicture}[scale=0.75,transform shape] \tableur*[23]{A/1.2cm,B/1.5cm} %\remplircases[align=center]{$n$ & $1{,}025^n$} \colonnetxt*[align=center]{A}{$n$,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21} \colonnetxt*[align=center]{B}{$1{,}025^n$,1.00,1.03,1.05,1.08,1.10,1.13,1.16,1.19,1.22,1.25,1.28,1.31,1.34,1.38,1.41,1.45,1.48,1.52,1.56,1.60,1.64,1.68} \end{tikzpicture}% \hfill\null \end{enumerate} \end{enumerate}