%bac2026gt-spec-fr-juin-sujet2-exo3 On considère un château de cartes à N étages, représenté ci-dessous dans le cas $N = 3$. On souhaite déterminer combien de cartes sont nécessaires pour construire un tel château. \begin{Centrage} \colorlet{eamtechnocoulfond}{white} \begin{tikzpicture}[semithick,line join=bevel] %étage 1 \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ; \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=1cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ; \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=2cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ; \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) ; \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (2,-0.025) circle[radius=0.8pt] (3,-0.025) circle[radius=0.8pt]; \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (3,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 1} ; %étage 2 \begin{scope}[shift={(0.5,{0.5*sqrt(2)+0.2})}] \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ; \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] ([xshift=1cm]0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ; \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) --++ (60:1) --++ (-60:1) ; \draw (0,-0.025) -- (2,-0.025) ; \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (2,-0.025) circle[radius=0.8pt] ; \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (2.5,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 2} ; \end{scope} %étage 2 \begin{scope}[shift={(1,{1*sqrt(2)+0.4})}] \draw[draw=eamtechnocoulfond,line width=0.75mm,fill=lightgray!35] (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) -- cycle ; \draw (0,0) --++ (60:1) --++ (-60:1) ; \draw (0,-0.025) -- (1,-0.025) ; \filldraw[eamtechnocoulfond] (0,-0.025) circle[radius=0.8pt] (1,-0.025) circle[radius=0.8pt] (60:1) circle[radius=0.8pt] ; \node[font=\footnotesize\sffamily,right] at (2,{0.25*sqrt(2)}) {Étage 3} ; \end{scope} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} peut-on dénombrer à l'étage $1$ dans un château à N étages ? \item Combien de triangles \og pointe en haut \fg{} sont nécessaires pour construire tout le château à N étages ? \item Justifier que le nombre de cartes nécessaires pour construire ce château à N étages est égal à : \[ \dfrac{3N^2 + N}{2} \] \item On dispose d'un paquet de $54$ cartes, combien d'étages peut comporter au maximum un château construit avec ces cartes ? Justifier la réponse. \end{enumerate}