%bac2026gt-spec-fr-juin-sujet2-exo2 \textbf{Partie A : Étude graphique} \medskip On donne ci-dessous les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de deux fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$. L'une est la dérivée de l'autre. On précise également que : \begin{itemize} \item $\mathcal{C}$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;9)$ et tangente l'axe des abscisses au point de coordonnées $(3;0)$, \item $\mathcal{C}'$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0;3)$ et l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(1;0)$ et $(3;0)$. \end{itemize} \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.8cm,y=0.45cm,Xmin=-2,Xmax=7,Xgrille=0.25,Xgrilles=0.25,Ymin=-11,Ymax=15,Ygrille=1,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Origine]{-1,0,...,6}{-9,-6,...,12} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,RestreindreY]{exp(x)*(x-3)^2} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,RestreindreY]{exp(x)*(x^2-4*x+3)} % \node[blue,font=\small] at (-1,7) {$\mathcal{C}$} ; % \node[red,font=\small] at (-1,2.5) {$\mathcal{C}'$} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Donner un argument graphique qui montre que c'est bien la courbe $\mathcal{C}'$ qui représente la dérivée de la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}$, et non l'inverse. \item On note $f$ la fonction représentée par la courbe $\mathcal{C}$. Montrer qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ est $y = 3x + 9$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Afin d'établir l'efficacité d'un antibiotique, un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture. À l'instant $t = 0$, le milieu contient une population initiale de bactéries et l'antibiotique est introduit dans le milieu. La densité de population bactérienne (en milliers de bactéries par millilitre) peut être modélisée par la fonction $f$ représentée par $\mathcal{C}$ dans la partie A et définie pour tout réel $t$ par : \[ f(t) = \e^t(t^2 - 6t + 9) \] où $t$ représente le temps écoulé depuis le début de l'observation, exprimé en heure. \medskip \textbf{Données :} $\e^1 \approx 2{,}7$~;~$\e^3 \approx 20{,}1$ \begin{enumerate}[resume] \item Montrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t) = \e^t(t-3)^2$. En déduire le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \item Calculer $f(0)$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item Montrer que la fonction dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $t$, par : \[ f'(t) = \e^t(t^2 - 4t + 3). \] \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'$ sur $\mathbb{R}$. \item Dresser le tableau des variations complet de la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate}