%bac2026gt-spec-asie-juin-sujet1-exo2 Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 2000. En 2020, le niveau du lac était d'environ $1\,100$ mètres au-dessus du niveau de la mer. En dessous de $1\,020$ mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique. \medskip \textbf{Partie A -- Étude d'un modèle discret} \medskip Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de $1\,\%$ tous les ans. On définit la suite $\suiten[u]$ telle que $u_n$ représente le niveau du lac en mètres $n$ années après 2020, c'est-à-dire en $2020+n$. On a alors $u_0 = 1\,100$. \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-2mm] \begin{tcolorbox}[enhanced,colback=gray!12,colframe=gray!12,size=small,boxrule=0pt,sharp corners,width=4cm] \textbf{Aide aux calculs :} \smallskip $1\,100 \times 0{,}99 = 1\,089$ $1\,100 \times 0{,}01 = 11$ $1\,100 \times 0{,}9 = 990$ \end{tcolorbox} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. \item En déduire la nature de la suite $\suiten[u]$. On précisera sa raison. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$. \item Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 2028. \textit{On ne demande pas d'effectuer ce calcul.} \item Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique. \begin{Centrage} \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=6cm]{center} u = 1100 n = 0 while ............... : n = n + 1 u = ................... print(n) \end{CodePythonLstAlt} \end{Centrage} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B -- Étude d'un modèle continu} \medskip Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$ par : \[ f(t) = 1\,050\,\e^{-0{,}01t} + 50 \] où $f(t)$ est le niveau du lac en mètres et $t$ le temps écoulé en années, depuis 2020. \begin{enumerate} \item Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ? \textit{Justifier votre réponse.} \item Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$, $f'(t) = -10{,}5\,\e^{-0{,}01t}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\IntervalleFO{0}{+\infty}$. \textit{Justifier.} \item On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.4cm,y=0.07cm,Xmin=0,Xmax=9.75,Xgrille=5,Xgrilles=0.5,Origy=1000,Ymin=1000,Ymax=1112.5,Ygrille=10,Ygrilles=10] \TracerAxesGrilles[Police=\footnotesize]{0,1,...,9}{1000,1010,...,1110} \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red]{1050*exp(-0.01*x)+50} \PlacerTexte[Couleur=red]{(1.5,1080)}{$\mathcal{C}_f$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \medskip Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique. \end{enumerate}