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%bac2026gt-spec-ag-juin-sujet1-exo3 On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma. On désigne par le terme \textit{JEUNE} un spectateur âgé de 18 ans ou moins. On désigne par le terme \textit{ABONNÉ} un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma. Une étude a permis d'établir les résultats suivants : \begin{itemize} \item $60\,\%$ des spectateurs sont abonnés ; \item parmi les spectateurs abonnés, $40\,\%$ sont jeunes ; \item parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, $20\,\%$ sont jeunes. \end{itemize} On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants : $A$ : \og le spectateur est abonné \fg{} ; \quad $J$ : \og le spectateur est jeune \fg. \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation. \medskip \def\ArbreExoDeux{ $A$/\numdots/, $J$/\numdots/, $\overline{J}$/\numdots/, $\overline{A}$/\numdots/, $J$/\numdots/, $\overline{J}$/\numdots/ } \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoDeux} \end{Centrage} \item Calculer la probabilité $P(A \cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \item Démontrer que $P(J) = 0{,}32$. \item On considère l'affirmation suivante : \og \textit{Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné.} \fg Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier. \item Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes : \begin{itemize} \item un spectateur non abonné paie sa place $5$~euros, quel que soit son âge ; \item un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place $2$~euros ; \item un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit. \end{itemize} On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma. \begin{enumerate} \item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}
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