%bac2026gt-spec-ag-juin-sujet1-exo2 On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture. En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à $10\,000$~euros. On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de $10\,\%$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année $2025 + n$. On a donc $u_0 = 10\,000$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026. \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = 0{,}9\,u_n$. \end{enumerate} \item En déduire la nature de la suite $\suiten$ et préciser sa raison. \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$.\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay,baseline=(postit-ref.base)]\node[inner sep=0pt](postit-ref){\strut};\end{tikzpicture} \begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]\draw ([xshift=2.35cm]postit-ref) node {\begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Inclinaison=5,Attache=Non,Largeur=2.975cm]{\footnotesize \textbf{Aide au calcul}\\$0{,}9^4 = 0{,}6561$\\$0{,}9^5 = 0{,}59049$\\$0{,}9^6 = 0{,}531441$}\end{PostIt}} ;\end{tikzpicture} \item En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030. \textit{On pourra s'aider de l'aide au calcul ci-contre.} \end{enumerate} \item On considère le programme \textsf{Python} ci-dessous. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center} def seuil(A) : N = 0 U = 10000 while ......... : U = ....... N = N + 1 return N \end{CodePythonLstAlt} Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < A$, où $A$ est un nombre réel strictement positif. \item L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$, donne les résultats suivants : \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=7cm]{center,title={\scriptsize\faCode} Console Python} >>> seuil(7500) 3 >>> seuil(5000) 7 >>> seuil(2500) 14 >>> seuil(2000) 16 \end{CodePythonLstAlt} \begin{enumerate} \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel \texttt{seuil(5000)}. \item Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale. \end{enumerate} \end{enumerate}