%bac2026gt-obli-poly-juin-sujet1-exo2 Deux entreprises A et B souhaitent réduire leurs déchets plastiques. \begin{itemize} \item L'entreprise A réduit ses déchets de $15$ tonnes chaque année. Elle produit $500$ tonnes de déchets en 2020. \item L'entreprise B réduit ses déchets de $8\,\%$ chaque année. Elle produit $600$ tonnes de déchets en 2020. \end{itemize} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On a représenté ci-dessous les quantités annuelles estimées de déchets plastiques des entreprises A et B entre 2020 et 2030, en prenant l'année 2020 comme année de rang 0. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.9cm,y=0.0075cm,Xmin=0,Xmax=10.5,Xgrille=1,Xgrilles=1,Ymin=0,Ymax=710,Ygrille=100,Ygrilles=100] \TracerAxesGrilles*[Origine,Police=\small]{0,1,...,10}{0,100,...,700} \PlacerTexte[Police=\footnotesize,Position=above left]{(10.5,0)}{Quantité de déchets (en tonnes)} \PlacerTexte[Police=\footnotesize,Position=below right]{(0,710)}{Rang de l'année} \foreach \n in {0,...,10}{ \MarquerPts*[Style=x,Couleur=blue,Taillex=2.5pt]{(\n,{500-15*\n})} \MarquerPts*[Style=o,Couleur=red]{(\n,{600*0.92^\n})} } \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \begin{enumerate} \item Justifier que la quantité de déchets produits par l'entreprise A est représentée par les points marqués d'une croix. \item Déterminer graphiquement à partir de quelle année l'entreprise B produit moins de déchets que l'entreprise A. \item L'entreprise A atteindra-t-elle son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques en 2030 ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item On note $u_n$ la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise A lors de l'année $2020 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_0 = 500$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Justifier que la suite $\suiten$ est arithmétique. Préciser sa raison. \end{enumerate} On a utilisé un tableur pour calculer les termes de la suite $\suiten$. Un extrait de la feuille de calcul est donné ci-dessous. \medskip \hfill% \storewidthtolength[4mm]{Quantité de déchets $u_n$ (en tonnes)}{\pastableurcolC}% \begin{tikzpicture} \tableur*[23]{A/1.5cm,B/1.8cm,C/\pastableurcolC} \celfusion[width=\pastableurcolC+3.2cm,align=center]{A-1}{C-1}{Déchêts produtis par l'entreprise A} \celtxt*[align=center]{A}{2}{$\strut$Année} \celtxt*[align=center]{B}{2}{$\strut$Rang $n$} \celtxt*[align=center,width=\pastableurcolC]{C}{2}{$\strut$Quantité de déchets $u_n$ (en tonnes)} \colonnetxt*[align=center]{A}<3>{2020,2021,2022,2023,2024,2025,2026,2027,2028,2029,2030,2031,2032,2033,2034,2035,2036,2037,2038,2039,2040} \colonnetxt*[align=center]{B}<3>{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} \colonnetxt*[align=center]{C}<3>{500,485,470,455,440,425,410,395,380,365,350,335,320,305,290,275,260,245,230,215,200} \selecCell{C}{4} \end{tikzpicture}% \hfill\null \begin{enumerate}[resume] \item Dans la cellule \textsf{C4}, quelle formule doit-on saisir puis recopier vers le bas, afin d'obtenir les termes de la suite $\suiten$ ? \item Déterminer au bout de combien d'années l'entreprise A atteindra son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques. \end{enumerate} \item On note $v_n$ la quantité de déchets plastiques, en tonnes, produits par l'entreprise B lors de l'année $2020 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $v_0 = 600$. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 0{,}92\,v_n$. \item La suite $\suiten[v]$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. \item Au bout de combien d'années l'entreprise B aura-t-elle atteint son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques ? Justifier votre réponse à l'aide du tableau ci-dessous. \end{enumerate} \medskip \hfill% \begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.925\linewidth,colspec={Q[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},cells={font=\small}} $n$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\ $0{,}92^n$ (arrondi au centième) & $0{,}92$ & $0{,}85$ & $0{,}78$ & $0{,}72$ & $0{,}66$ & $0{,}61$ & $0{,}56$ & $0{,}51$ & $0{,}47$ & $0{,}43$ \\ \end{tblr}% \hfill\null \end{enumerate}