%bac2026gt-obli-fr-juin-sujet2-exo4 On étudie l'évolution du nombre d'habitants de deux villes A et B à partir du 1$^{\text{er}}$ janvier 2020. On a modélisé ci-dessous l'évolution de la population de ces deux villes en fonction du nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020. En abscisse, on lit le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 et en ordonnée, le nombre d'habitants en millions. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=0.7cm,y=1.4cm,Xmin=0,Xmax=20,Xgrilles=1,Ymin=0,Ymax=10,Ygrilles=1] \TracerAxesGrilles*[Fleches=false,Origine,Police=\small]{0,1,...,20}{0,1,...,10} \TracerNuageSuite*[CouleurNuage=purple/violet,Style=o,Debut=0,Fin=20,TaillePts=3.25pt]{0.1*n+6} \TracerNuageSuite*[CouleurNuage=red/yellow,Style=o,Debut=0,Fin=17,TaillePts=3.25pt]{3*1.07^n} \PlacerTexte[Police=\footnotesize\sffamily,Position=below left]{(20,-0.375)}{nombre d'années écoulées depuis le 1\up*{er} janvier 2020} \draw (-1.5,10) node[pflnoeud,font=\footnotesize\sffamily,below left,rotate=90] {nombre d'habitants en millions} ; %notice \draw[pflcadre,fill=white] (4,8.5) rectangle (7,9.5) ; \MarquerPts[Couleur=red/yellow,Tailleo=3.25pt]{(4.5,{9.5-0.3})/~~Ville A/right} %rond bicolore \MarquerPts[Couleur=purple/violet,Tailleo=3.25pt]{(4.5,{8.5+0.3})/~~Ville B/right} %rond bicolore % \DefinirCourbe[Trace,Couleur=blue,Debut=0,Fin=20]{3*1.07^x} % \DefinirCourbe[Trace,Couleur=red,Debut=0,Fin=20]{6+0.1*x} % \node[blue,font=\small] at (17,9.5) {Ville A} ; % \node[red,font=\small] at (17,8) {Ville B} ; \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} \medskip \textbf{Partie A : Étude de la population de la ville A} \medskip On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville A a été modélisée par la suite géométrique $\suiten[u]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ u_n = 3 \times 1{,}07^n \] où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 et $u_n$ est le nombre d'habitants l'année $2020 + n$, exprimé en millions. \begin{enumerate} \item Quel est le nombre d'habitants de la ville A au 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 ? \item \begin{enumerate} \item Justifier que la suite $\suiten[u]$ est croissante. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice et donner le taux d'évolution annuel, exprimé en pourcentage, de la population de la ville A selon ce modèle. \end{enumerate} \item Estimer, à l'aide du graphique ci-dessus, le nombre d'années nécessaires depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 pour que le nombre d'habitants de la ville A double selon ce modèle. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude de la population de la ville B} \medskip On admet que l'évolution du nombre d'habitants de la ville B a été modélisée par la suite arithmétique $\suiten[v]$ définie pour tout entier naturel $n$ par : \[ v_n = 6 + 0{,}1n \] où $n$ est le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2020 et $v_n$ est le nombre d'habitants l'année $2020 + n$, exprimé en millions. \begin{enumerate} \item Donner les deux premiers termes $v_0$, $v_1$ de la suite $\suiten[v]$ ainsi que sa raison. \item Selon ce modèle, calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1$^{\text{er}}$ janvier 2035. \item Déterminer, par le calcul, le nombre d'années nécessaires pour que la population de la ville B soit égale à $7{,}3$ millions d'habitants selon ce modèle. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Comparaison de la population des deux villes} \medskip Estimer, à l'aide du graphique ci-dessus, en quelle année la population de la ville A dépassera celle de la ville B.