%bac2026gt-obli-asie-juin-sujet1-exo3 Vous venez de commencer une nouvelle partie d'un jeu vidéo au cours de laquelle votre personnage gagne de l'expérience et obtient de la potion magique. \medskip \textbf{Partie A -- Gain d'expérience} \medskip Quand votre personnage passe d'un niveau au niveau supérieur, il gagne $80$ points d'expérience. Quand vous commencez, votre personnage est au niveau $0$ et a $20$ points d'expérience. \begin{enumerate} \item Combien votre personnage a-t-il de points d'expérience quand il est au niveau $1$ ? \item Montrer que, quand votre personnage est au niveau $10$, il a plus de $800$ points d'expérience. \item À quel niveau votre personnage est-il s'il a $2\,020$ points d'expérience ? \textit{Justifier par un calcul.} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B -- Gain d'énergie magique} \medskip À la fin de chaque niveau, votre personnage doit neutraliser un monstre. Cela lui rapporte de l'énergie sous forme de potion magique. Au niveau $0$, le monstre neutralisé permet de récupérer $10$ centilitres (cl) de potion magique. À chaque niveau, cette quantité augmente de $20\,\%$ par rapport au niveau précédent. \medskip \begin{wrapstuff}[r] {\small \begin{tabular}{|c|c|} \hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Aide aux calculs}} \\ \hline $1{,}2^2$ & $1{,}44$ \\ $1{,}2^3$ & $1{,}728$ \\ $1{,}2^4$ & $2{,}0736$ \\ $1{,}2^5$ & $2{,}48832$ \\ $1{,}2^6$ & $2{,}985984$ \\ $1{,}2^7$ & $3{,}5831808$ \\ $1{,}2^8$ & $4{,}29981696$ \\ $1{,}2^9$ & $5{,}15978035$ \\ $1{,}2^{10}$ & $6{,}19173642$ \\ $1{,}2^{11}$ & $7{,}43008371$ \\ \hline \end{tabular}} \end{wrapstuff} \textit{Arrondir les résultats, si nécessaire, au centilitre près.} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $v_n$ la quantité de potion magique (en cl) récupérée pour le monstre neutralisé au niveau $n$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $v_0 = 10$. \item Justifier que $v_{n+1} = 1{,}2\,v_n$ pour tout entier naturel $n$. \item En déduire la nature de la suite $\suiten[v]$ et préciser sa raison. \item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $v_5 \approx 25$. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item À partir de quel niveau la quantité de potion magique récupérée par monstre neutralisé dépasse-t-elle $0{,}6$ litre ? \end{enumerate}