%bac2026gt-obli-all-janvier-sujet3-exo2.tex Victor sort un plat du four. La température du plat est alors égale à $180^{\circ}\mathrm{C}$. Il place ce plat dans une pièce dont la température est égale à $25^{\circ} \mathrm{C}$. Le plat refroidit. Le plat ne pourra être servi que lorsque sa température sera devenue inférieure ou égale à $40^{\circ} \mathrm{C}$. \smallskip On étudie le refroidissement du plat selon deux modèles mathématiques. \medskip \textbf{Partie A : Premier modèle.} \medskip On suppose que la baisse de la température du plat est proportionnelle à la durée du refroidissement, c'est-à-dire au nombre de minutes écoulées depuis la sortie du four. \smallskip On constate que 3 minutes après la sortie du four, la température du plat est égale à $105^{\circ} \mathrm{C}$. \begin{enumerate} \item De combien de degrés le plat a-t-il baissé en 3 minutes ? En 1 minute ? \item Vérifier que la température du plat, 5 minutes après la sortie du four, est égale à $55^{\circ} \mathrm{C}$. \item Selon ce modèle, quelle serait la température du plat, 8 minutes après la sortie du four? Ce premier modèle semble-t-il pertinent ? \end{enumerate} \textbf{Partie B : Second modèle.} \medskip On dispose toujours des données suivantes : \begin{itemize} \item la température de la pièce est égale à $25^{\circ} \mathrm{C}$ ; \item la température du plat à la sortie du four est égale à $180^{\circ} \mathrm{C}$ ; \item la température du plat, 3 minutes après la sortie du four, est égale à $105^{\circ} \mathrm{C}$. \end{itemize} Pour tout entier naturel $n$ on note $U_{n}$, la différence entre la température du plat et la température de la pièce, $n$ minutes après la sortie du four. \smallskip \underline{Exemple} : 3 minutes après la sortie du four, l'écart avec la température de la pièce est égal à $105-25=80$. On a donc $U_{3}=80$. \begin{enumerate} \item Justifier que $U_{0}=155$. \item On suppose que chaque minute la différence $U_{n}$ diminue de $20\,\%$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $U_{n+1}=0,8 U_{n}$. \item En déduire la nature de la suite $\left(U_{n}\right)$ et donner sa raison. \item Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. \end{enumerate} \end{enumerate} On dispose des données suivantes : \begin{Centrage} \begin{tblr}{width=0.975\linewidth,hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]*{13}{X[m,c]}}} $n$ & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ {$U_{n}$\\Arrondi à $10^{-1}$.} & 80 & 64 & 51,2 & 41 & 32,8 & 26,2 & 21 & 16,8 & 13,4 & 10,7 & 8,6 & 6,9 & 5,5 \\ \end{tblr} \end{Centrage} \smallskip Au bout de combien de minutes, Victor pourra-t-il servir le plat ?