%bac2026gt-obli-all-janvier-sujet2-exo2.tex On étudie la croissance d'une population de champignons. \medskip \textbf{Partie A.} \medskip Au début de l'expérience, on dispose de 100 champignons. Toutes les dix minutes, on mesure l'évolution de leur nombre. On obtient les résultats suivants. \medskip \begin{minipage}{0.5\linewidth} \hfill \begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]Q[m,c,3cm]},cells={font=\footnotesize}} {Temps écoulé\\(en minutes)} & Nombre de champignons \\ 0 & 100 \\ 10 & 125 \\ 20 & 150 \\ 30 & 175 \\ \end{tblr} \hfill\null \end{minipage} % \begin{minipage}{0.5\linewidth} \hfill \begin{GraphiqueTikz}[x=0.08cm,Xmin=0,Xmax=40,Xgrille=10,Xgrilles=2,y=0.016cm,Ymin=0,Ymax=200,Ygrille=50,Ygrilles=10] \TracerAxesGrilles[Police=\scriptsize]{0,10,20,30}{0,50,100,150} \draw (\pflxmax,0) node[above left,align=left,font=\tiny\bfseries] {temps écoulé\\(en minutes)} ; \draw (0,\pflymax) node[below right,align=left,font=\tiny\bfseries] {nombre de\\champignons} ; \MarquerPts*{(0,100),(10,125),(20,150),(30,175)} \end{GraphiqueTikz} \hfill\null \end{minipage} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $u_{n}$ le nombre de champignons après $n$ périodes de \textbf{dix} minutes. Ainsi $u_{0}=100$, $u_{1}=125$, $u_{2}=150 \ldots$. \begin{enumerate} \item Justifier que les termes $u_{0}$, $u_{1}$, $u_{2}$, $u_{3}$ sont en progression arithmétique. \item En supposant que la population de champignons continue d'évoluer selon le même rythme, montrer qu'elle aura quadruplé deux heures après le début de l'expérience. \end{enumerate} \begin{wrapstuff}[r,leftsep=7.5mm] \begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={Q[m,c,2.5cm]Q[m,c,3cm]},cells={font=\footnotesize}} {Temps écoulé\\(en minutes)} & Nombre de champignons \\ 0 & 100 \\ 40 & 200 \\ 80 & 400 \\ 120 & 800 \\ \end{tblr} \end{wrapstuff} \textbf{Partie B.} \medskip En réalité, on constate que la population de champignons a quadruplé 80 minutes après le début de l'expérience. De nouvelles mesures donnent les résultats suivants. \smallskip Soit $n$ un entier naturel. On note $v_{n}$ le nombre de champignons, après $n$ périodes de quarante minutes. Ainsi $v_{0}=100$, $v_{1}=200$, $v_{2}=400 \ldots$. \begin{enumerate} \item Montrer que les termes $v_{0}$, $v_{1}$, $v_{2}$, $v_{3}$ sont en progression géométrique. \item On suppose que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 2. Indiquer sans justifier lequel des 4 graphiques ci-dessous est susceptible de représenter la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ; \PlacerPoints*{(0.5,0.1),(1,0.2),(1.5,0.3),(2,0.5),(2.5,1),(3,1.9)} \PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 1} \end{tikzpicture} ~~ \begin{tikzpicture} \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ; \PlacerPoints*{(0.1,0.3),(0.2,0.5),(0.45,0.8),(0.9,1),(1.8,1.3),(3.5,1.6)} \PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 2} \end{tikzpicture} ~~ \begin{tikzpicture} \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ; \PlacerPoints*{(0.5,0.25),(1,0.5),(1.5,0.75),(2,1),(2.5,1.25),(3,1.5)} \PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 3} \end{tikzpicture} ~~ \begin{tikzpicture} \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (3.5,0) ; \draw[semithick,->,>=latex] (0,0) -- (0,2) ; \PlacerPoints*{(0.5,1.9),(1,1),(1.5,0.65),(2,0.45),(2.5,0.4),(3,0.3)} \PlacerTexte[Police=\scriptsize,inner sep=1pt]{(1.75,2)}{Graphique 4} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \begin{wrapstuff}[r,abovesep=-5mm] \begin{PostIt}[Rendu=tikzv2,Largeur=3cm,Inclinaison=2.5,Attache=Non,AlignementH=center] {\scriptsize\sffamily\bfseries Aide au calcul} \vspace*{1mm} {\scriptsize\begin{tabular}{l} $2^{6}=64$ \\ $2^{7}=128$ \\ $2^{8}=256$ \\ $2^{9}=512$ \\ $2^{10}=\num{1024}$ \end{tabular}}% \vspace*{-3mm} \end{PostIt} %\begin{tblr}{hlines,vlines,cells={font=\scriptsize},colspec={c}} % {Aide au calcul \\ $2^{6}=64$ \\ $2^{7}=128$ \\$2^{8}=256$ \\$2^{9}=512$ \\$2^{10}=\num{1024}$} %\end{tblr} \end{wrapstuff} \begin{enumerate}[resume] \item Quel sera le nombre de champignons quatre heures après le début de l'expérience ? \item Cinq heures après le début de l'expérience, on dénombre environ \num{18000} champignons. Est-ce cohérent avec le modèle choisi? \end{enumerate}