%bac2026gt-obli-ag-juin-sujet1-exo3 On compte le nombre d'arbres de deux forêts où de nouveaux arbres sont plantés chaque année. \medskip \textbf{Partie A -- Première forêt} \medskip Dans cette forêt, au $1^{\text{er}}$ janvier 2010, on dénombrait $1\,200$ arbres. On suppose que le nombre d'arbres augmente de $100$ par an. On modélise cette évolution par la suite $\suiten$ où $u_n$ représente le nombre d'arbres dans cette forêt le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2010 + n$ pour tout entier naturel $n$. Ainsi on a $u_0 = 1\,200$. \begin{enumerate} \item Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter $u_2$ dans le contexte de l'exercice. \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$. En déduire la nature de la suite $\suiten$ et préciser sa raison $r$. \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. \item D'après ce modèle, à partir de quelle année la forêt comptera-t-elle plus de $2\,950$ arbres ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B -- Seconde forêt} \medskip Dans cette forêt, au $1^{\text{er}}$ janvier 2010, on dénombrait $1\,000$ arbres. On suppose que le nombre d'arbres augmente de $5\,\%$ par an. On modélise cette évolution par la suite $\suiten[v]$ où $v_n$ représente le nombre d'arbres dans cette forêt le $1^{\text{er}}$ janvier de l'année $2010 + n$ pour tout entier naturel $n$. Ainsi on a $v_0 = 1\,000$. \begin{enumerate} \item Calculer le nombre d'arbres au $1^{\text{er}}$ janvier 2011. \item Déterminer la nature de la suite $\suiten[v]$ et préciser sa raison $r$. \item D'après ce modèle, on estime qu'au $1^{\text{er}}$ janvier 2030, il y aura environ $2\,653$ arbres sur la parcelle. Quel terme de la suite a-t-on calculé ? Quel a été le calcul effectué ? \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C -- Comparaison des évolutions} \medskip Grâce à l'extrait de tableur ci-dessous, on visualise le nombre d'arbres arrondi à l'unité dans les deux forêts. \medskip \hfill% \begin{tblr}{hlines,vlines,colspec={*{10}{Q[1.125cm,c,m]}}} $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & \ldots & 26 & 27 & 28 & \textbf{29} \\ $u_n$ & 1\,200 & 1\,300 & 1\,1400 & 1\,500 & \ldots & 3\,800 & 3\,900 & 4\,000 & \textbf{4\,100} \\ $v_n$ & 1\,000 & 1\,050 & 1\,103 & 1\,158 & \ldots & 3\,556 & 3\,733 & 3\,920 & \textbf{4\,116} \\ \end{tblr} \hfill\null \medskip Interpréter dans le contexte de l'exercice les résultats de la dernière ligne.