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%bac2026gt-obli-ag-juin-sujet1-exo2 Dans un lycée, on peut s'inscrire à deux clubs qui proposent des activités artistiques ou sportives. On constate que : \begin{itemize} \item $40\,\%$ des élèves inscrits aux clubs ont choisi des activités artistiques ; \item parmi les élèves ayant choisi des activités artistiques, $20\,\%$ ont aussi choisi des activités sportives ; \item parmi les élèves n'ayant pas choisi des activités artistiques, $40\,\%$ ont choisi des activités sportives. \end{itemize} Parmi l'ensemble des élèves inscrits à ces clubs, on choisit un élève au hasard. On note les événements suivants : $A$ : \og l'élève choisi est inscrit à une activité artistique \fg{} ; \quad $S$ : \og l'élève choisi est inscrit à une activité sportive \fg. \textit{Pour un événement quelconque $E$, on note $\overline{E}$ l'événement contraire de $E$, $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'événement $F$.} \begin{enumerate} \item Déterminer $P_A(S)$ et $P_{\overline{A}}(S)$. \item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant : \medskip \def\ArbreExoUn{ $A$/${0,4}$/, $S$/\numdots/, $\overline{S}$/\numdots/, $\overline{A}$/\numdots/, $S$/\numdots/, $\overline{S}$/\numdots/ } \begin{Centrage} \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto]{\ArbreExoUn} \end{Centrage} \item Calculer $P(A \cap S)$ et $P(\overline{A} \cap S)$. On admet que $P(S) = 0{,}32$. \item Calculer $P_S(A)$. Interpréter la réponse. \item Les événements $A$ et $S$ sont-ils indépendants ? \end{enumerate}
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