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%bac2026gen-poly-juin-sujet2-exo3.tex Dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\Rijk$, on considère les points $A(-1;1;1)$, $B(1;-6;-1)$ et $C(-5;2;3)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. \item Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$. \item En déduire que le plan $(ABC)$ admet pour équation cartésienne : \[ 6x - 2y + 13z - 5 = 0. \] \end{enumerate} \item On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne $8x - 2y - 4z + 18 = 0$. On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux. Démontrer que les plans $(ABC)$ et $(P)$ sont perpendiculaires. \item Soit $(d)$ une droite dont une représentation paramétrique est : \[ \begin{cases} x = -4 + t \\ y = -11 + 6t \\ z = 2 - t \end{cases} \quad ; \quad t \in \mathbb{R}. \] Démontrer que la droite $(d)$ intersecte le plan $(ABC)$ en un unique point qu'on nommera $E$, et qui a pour coordonnées $E(-3;-5;1)$. \item Soit $H(-2;1;0)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$. \item En déduire la distance du point $A$ à la droite $(d)$. \item Montrer que le triangle $AHE$ est rectangle et que son aire est égale à $\sqrt{19}$ unités d'aire. \end{enumerate} \end{enumerate}
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