%bac2026gen-poly-juin-sujet2-exo2.tex \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$ par $f(x) = \ln(8x^3 - 1)$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\intervFF{4}{10}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$, on a : \[ f'(x) = \frac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}. \] \item \begin{enumerate} \item En déduire que $f$ est croissante sur $\intervFF{4}{10}$. \item Montrer que, pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$, on a : \[ 4 \leqslant f(x) \leqslant 10. \] \end{enumerate} \item On définit la fonction $g$ définie pour tout $x \in \intervFF{4}{10}$ par $g(x) = f(x) - x$. On admet que $g$ est strictement décroissante sur son ensemble de définition. \begin{enumerate} \item Montrer que, sur l'intervalle $\intervFF{4}{10}$, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$. \item Déterminer un encadrement à $10^{-3}$ près de $\alpha$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet qu'on peut définir la suite $\suiten[u]$ par $u_0 = 5$ et pour tout entier naturel $n$, par $u_{n+1} = f(u_n)$, où $f$ est la fonction étudiée à la partie A. \begin{enumerate} \item Donner une valeur approchée de $u_1$ à $10^{-1}$ près. \item \begin{enumerate} \item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a : \[ 4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10. \] \item En déduire que la suite $\suiten[u]$ converge. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $\suiten[u]$ converge vers le nombre $\alpha$, défini dans la partie A. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on admet que $8{,}4 \leqslant \alpha \leqslant 8{,}5$. On a créé, en langage \textsf{Python}, la fonction \texttt{alpha} suivante. On précise qu'en langage \textsf{Python}, l'instruction \texttt{log} correspond à $\ln$. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=8cm]{center} def f(x) : return log(8*x**3 - 1) def alpha(a) : n = 0 u = 5 while u < a : u = f(u) n = n + 1 return n \end{CodePythonLstAlt} \begin{enumerate} \item On admet que \texttt{alpha(8.499)} renvoie la valeur $11$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \item Un utilisateur exécute \texttt{alpha(8.6)}. Expliquer pourquoi aucune valeur n'est alors renvoyée. \end{enumerate}