%bac2026gen-poly-juin-sujet1-exo1.tex Une école de surf travaille avec des planches en mousse pour les cours débutants, et d'autres en résine pour les cours de perfectionnement. Les planches en mousse représentent $80\,\%$ du stock de l'école. La gérante observe qu'après chaque saison~: \begin{itemize}[noitemsep] \item $75\,\%$ des planches en mousse sont en bon état et réutilisables la saison suivante. Les autres sont recyclées (et donc non réutilisables)~; \item $60\,\%$ des planches en résine sont en bon état, les autres sont soit consolidées, soit recyclées. \end{itemize} Après une saison, on choisit une planche au hasard et on s'intéresse aux évènements suivants~: \begin{itemize}[noitemsep] \item $M$ : \og La planche est en mousse \fg~; \item $B$ : \og La planche est en bon état \fg~; \item $R$ : \og La planche sera recyclée \fg~; \item $C$ : \og La planche sera consolidée \fg. \end{itemize} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter sur la copie l'arbre pondéré ci-dessous avec les données de l'énoncé. Il sera complété au fur et à mesure de l'exercice. \begin{center} \begin{tikzpicture}[ x=2.75cm, y=0.85cm, edge from parent/.style={semithick,draw,-}, every node/.style={font=\small} ] % Niveau 0 (racine) \coordinate (r) at (0,0) ; % Niveau 1 \node (M) at (1, 1.5) {$M$}; \node (Mb) at (1,-1.5) {$\overline{M}$}; % Niveau 2 — branche M \node (MB) at (2, 2.5) {$B$}; \node (MR) at (2, 0.5) {$R$}; % Niveau 2 — branche M̄ \node (MbB) at (2,-0.5) {$B$}; \node (MbR) at (2,-1.8) {$R$}; \node (MbC) at (2,-3.0) {$C$}; % Traits \draw (r) -- (M) ; \draw (r) -- (Mb) ; \draw (M) -- (MB) ; \draw (M) -- (MR) ; \draw (Mb) -- (MbB) ; \draw (Mb) -- (MbR) ; \draw (Mb) -- (MbC) ; \end{tikzpicture} \end{center} \item On sait que $P{\big(\overline{M} \cap R\big)} = 0{,}05$. \begin{enumerate} \item Interpréter cette égalité dans le contexte de l'exercice. \item On a choisi une planche en résine. Démontrer que la probabilité que cette planche soit consolidée pour la saison suivante est $0{,}15$. \end{enumerate} \item La gérante affirme qu'après une saison, au moins $\dfrac{3}{4}$ des planches sont en bon état. A-t-elle raison~? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La gérante du club de surf envisage de proposer à certains clients une remise pour la saison suivante. Pour cela, elle imagine le jeu suivant qui sera proposé à chaque client~: Une urne contient $5$ boules noires et un nombre $n$ de boules rouges. Les boules sont indiscernables au toucher. Le client tire simultanément deux boules dans l'urne. Si les deux boules sont de même couleur, le client gagne une remise ; sinon, il perd le jeu et n'obtient pas de remise. \begin{enumerate} \item Justifier que la probabilité $p$ de gagner une remise est~: \[ p = \dfrac{\dbinom{5}{2} + \dbinom{n}{2}}{\dbinom{n+5}{2}}. \] \item En déduire que la probabilité $p$ peut s'écrire~: \[ p = \dfrac{20 + n(n-1)}{(n+5)(n+4)}. \] \item La gérante souhaite s'assurer que la probabilité de gagner est inférieure à $\dfrac{1}{2}$. Déterminer pour cela l'ensemble des valeurs possibles du nombre $n$ de boules rouges qu'elle peut mettre dans l'urne. \end{enumerate}