%bac2026gen-fr-juin-sujet2-exo2.tex Un bassin destiné à l'élevage des truites contient $30\,000$ litres d'eau, régulièrement renouvelée. Pour vérifier la présence éventuelle de substances polluantes dans le bassin, on procède à des analyses régulières. On étudie dans les deux parties ci-dessous un cas de contamination de l'eau par une substance polluante à l'aide de deux modèles différents. Les deux parties sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A : modèle discret} \medskip On note $V_n$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin, $n$ heures après le début du phénomène de pollution. On a ainsi $V_0 = 0$. On admet que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0{,}995\,V_n + 6$. \begin{wrapstuff}[r] \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=5cm]{} def volume(n): v = ... for k in range(n) : v = ........... return v \end{CodePythonLstAlt} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item Calculer $V_1$ et $V_2$. \item Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il renvoie le volume en litre de substance polluante présente dans le bassin après $n$ heures. \item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $V_n \leqslant V_{n+1} \leqslant 1200$. \item Justifier que la suite $\suiten[V]$ converge, et calculer sa limite. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : modèle continu} \medskip On note $v(t)$ le volume, en litre, de la substance polluante présente dans le bassin à l'instant $t$, en heure. On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$, et on note $v'$ sa fonction dérivée. On considère que le phénomène de pollution débute au temps $t = 0$ ; ainsi $v(0) = 0$. On admet que la fonction $v$ est solution de l'équation différentielle : \[ (E)~: y' = -0{,}005\,y + 6, \] où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $\intervFO{0}{+\infty}$. \item Montrer que pour tout réel $t$ appartenant à l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$ : \[ v(t) = 1200\left(1 - \e^{-0{,}005t}\right). \] \item Calculer la limite de $v$ en $+\infty$. \item Déterminer le sens de variation de la fonction $v$ sur l'intervalle $\intervFO{0}{+\infty}$. \end{enumerate} \item Un taux de substance polluante supérieur à $5\,\%$ du volume du bassin nécessite un nettoyage complet. Selon ce modèle, le propriétaire devra-t-il procéder à ce nettoyage ? \item Pour pouvoir dépolluer rapidement le bassin et éviter de lourdes conséquences sur l'élevage, il est préconisé que le volume de la substance polluante ne dépasse pas $50$ litres. Déterminer la valeur exacte de l'instant au-delà duquel le volume de la substance dépasse $50$ litres dans le bassin. En donner la valeur en heure et minute, arrondie à la minute. \end{enumerate}