%bac2026gen-fr-juin-sujet2-exo1.tex \begin{wrapstuff}[r] \begin{EnvTikzEspace}[UniteX={10:1.4cm},UniteY={140:0.9cm},UniteZ={90:1.4cm}] \PlacePointsEspace{A/2,1,1/hd B/3,-2,0/hd C/0,-1,1/bg D/0,0,2/g} \draw[thick] (-0.7,0,0)--(1.7,0,0) (3.1,0,0)--(4.48,0,0) (0,-3,0)--(0,2,0) (0,0,-1.5)--(0,0,2.5) ; \fill[lightgray!25,line join=bevel] (D)--(A)--(B)--(C)--cycle ; \draw[dashed,thick] (1.7,0,0)--(3.13,0,0) ; \TraceSegmentsEspace[very thick]{A/B B/C A/D B/D D/C} \TraceSegmentEspace[very thick,dashed](A)(C) \MarquePointsEspace[Couleur=black,TailleMarque=1.5pt]{A,B,C,D} \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (1,0,0) node[below left] {$\vec{\imath}$} ; \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,1,0) node[below left] {$\vec{\jmath}$} ; \draw[ultra thick,->,>=latex] (0,0,0) -- (0,0,1) node[left] {$\vec{k}$} ; \node[below left] at (0,0,0) {$O$} ; \end{EnvTikzEspace} \end{wrapstuff} Dans le repère orthonormé $\Rijk$, on considère les points :% \[ A(2;1;1),~B(3;-2;0),~C(0;-1;1) \text{ et } D(0;0;2). \] \begin{enumerate} \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\-1\\4\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$. \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : \[ x - y + 4z - 5 = 0. \] \end{enumerate} \item Vérifier qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ est donnée par :% \[ \begin{cases} x = t \\ y = -t \\ z = 2 + 4t \end{cases} \quad\text{avec } t \in \mathbb{R}. \] \item Montrer que le projeté orthogonal de $D$ sur le plan $(ABC)$ est le point $H\left(-\dfrac{1}{6};\dfrac{1}{6};\dfrac{4}{3}\right)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle $ABC$ est isocèle en $B$. \item Montrer que l'aire du triangle $ABC$ est $3\sqrt{2}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En déduire que le volume du tétraèdre $ABCD$ est égal à $1$. \textit{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par~: $V = \dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à cette base.} \item On admet que la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $\sqrt{2}$. En déduire l'aire du triangle $BCD$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on note $D_k$ le point ayant pour coordonnées $(0;0;k)$ où $k$ est un réel. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur de $k$ pour laquelle les points $A$, $B$, $C$ et $D_k$ sont coplanaires. Quel est alors le projeté orthogonal du point $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ? \item Peut-on trouver une valeur de $k$ telle que $A$ soit le projeté orthogonal de $D_k$ sur le plan $(ABC)$ ? \end{enumerate} \end{enumerate}