%bac2026gen-fr-juin-sujet1-exo1.tex Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée. Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que $30\,\%$ réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, $80\,\%$ réservent une cabine. On sait par ailleurs que $75\,\%$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine. On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les événements suivants : \begin{itemize} \item $V$ : \og la famille réserve un emplacement pour un véhicule \fg{} ; \item $C$ : \og la famille réserve une cabine \fg. \end{itemize} Pour un événement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité. \begin{wrapstuff}[r] \def\ArbreExoUn{ $V$/\numdots/, $C$/\numdots/, $\overline{C}$/\numdots/, $\overline{V}$/\numdots/, $C$/\numdots/, $\overline{C}$/\numdots/ } \ArbreProbasTikz[PositionProbas=auto,EspaceNiveau=1.75]{\ArbreExoUn} \end{wrapstuff} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Donner $P(C)$. \item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés. \end{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine. \item Une famille a réservé une cabine. Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule. \item Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée. Ces suppléments sont d'un montant de : \begin{itemize} \item $100$~€ pour une cabine ; \item $70$~€ pour l'emplacement d'un véhicule. \end{itemize} On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule. À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.). On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments. On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$. \medskip \hfill% \begin{tblr}{hlines,vlines,width=0.6\linewidth,colspec={X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]}} $x_i$ & $0$ & $70$ & $100$ & $170$ \\ $P(X = x_i)$ & $0{,}19$ & $0{,}06$ & $0{,}51$ & $0{,}24$ \\ \end{tblr}% \hfill\null \medskip On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras. On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $\Esper{X} = 104$ et pour variance $\Varianc{X} = 1\,686$. On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes. \begin{enumerate} \item Justifier que $\Esper{X} = 96$ et que $\Varianc{X} = 3\,114$. \item À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de $40\,\%$ sur les suppléments et les extras. On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction. \begin{enumerate} \item Justifier que $Z = 0{,}6(X + Y)$. \item En déduire que $\Esper{Z} = 120$ et que $\Varianc{Z} = 1\,728$, où $\Esper{Z}$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $\Varianc{Z}$ sa variance. \end{enumerate} \item On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question \textbf{2}. On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise. On désigne par $Z_1$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_2$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_n$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille. On considère la variable aléatoire $M_n = \dfrac{Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles. On admet que les variables $Z_1$, $Z_2$, \ldots, $Z_n$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$. \begin{enumerate} \item Montrer que l'espérance $\Esper{M_n}$ de la variable $M_n$ est égale à $120$, et que sa variance $\Varianc{M_n}$ est égale à $\dfrac{1\,728}{n}$. \item Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que $P(114 < M_n < 126) \geqslant 0{,}85$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}