%bac2026gen-ce-juin-sujet2-exo4.tex \textbf{Partie A} \medskip Sur le graphique ci-dessous, on a tracé trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$. Les courbes correspondent aux représentations graphiques de trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ : une fonction $f$, sa dérivée $f'$ et sa dérivée seconde $f''$. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1.75cm,y=7cm,Xmin=0,Xmax=6,Xgrilles=1,Xgrilles=0.2,Ymin=-0.6,Ymax=1.2,Ygrille=0.5,Ygrilles=0.1] \tikzset{pflcourbe/.style={line width=1.1pt}} \TracerAxesGrilles[Elargir=2.5mm,Origine]{1,...,6}{-0.5,0.5,1} \DefinirCourbe[Nom=cun,Trace,Couleur=blue,StyleTrace=dotted]<f>{(x^2-3*x+2)*exp(-x)} \TracerDerivee[Nom=cdeux,Couleur=red,StyleTrace=dashed]{f} \DefinirCourbe[Nom=ctrois,Trace,Couleur=violet]{(x^2-7*x+10)*exp(-x)} \PlacerTexte[Couleur=blue,Position=right]{(0.225,1)}{$C_1$} \PlacerTexte[Couleur=violet,Position=right]{(1.2,1)}{$C_2$} \PlacerTexte[Couleur=red,Position=left]{(1,-0.4)}{$C_3$} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} Associer chacune des fonctions $f$, $f'$ et $f''$ à sa courbe représentative. \textit{Aucune justification n'est attendue.} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'équation différentielle $(E)$ définie par $y' + y = (2x-3)\e^{-x}$ où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x^2 - 3x)\e^{-x}$. Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y' + y = 0$. \item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $f(0) = 2$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \e^{-x}(x^2 - 3x + 2)$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. \begin{enumerate} \item Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$. \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \item On note $I$ l'intégrale définie par : \[ I = \int_0^1 f(x)\,\dx \] \begin{enumerate} \item À l'aide de deux intégrations par parties successives, démontrer que $I = 1 - \dfrac{1}{\e}$. \item Interpréter graphiquement ce résultat. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D} \medskip On considère un réel $a$. On note $(T_a)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le point d'intersection de la tangente $(T_a)$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $(a^3 - 4a^2 + 2a + 2)\e^{-a}$. \item Déterminer le nombre de tangentes à la courbe $\mathcal{C}_f$ passant par l'origine du repère. \textit{Le candidat explicitera les étapes de la démarche utilisée.} \end{enumerate}