%bac2026gen-ce-juin-sujet2-exo3.tex \textbf{Partie A} \medskip On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ par $f(x) = \ln(3x^2 + 2x)$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$. \item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ par $g(x) = f(x) - x$. On admet que la fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$. \begin{enumerate} \item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$. \item Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième. \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFO{2}{+\infty}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, les réponses pourront s'appuyer sur les résultats de la \textbf{partie A}. On définit une suite $\suiten[a]$ par son premier terme $a_0 > 0$ et pour tout entier naturel $n$, \[ a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n) \] On étudie le cas où $2 \leqslant a_0 \leqslant \alpha$, où $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $g(x) = 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $2 \leqslant a_n \leqslant \alpha$. \item Démontrer que la suite $\suiten[a]$ est croissante. \item Démontrer que la suite $\suiten[a]$ converge. \item Démontrer que la limite de la suite $\suiten[a]$ est $\alpha$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on prend $a_0 = 2$. La suite $\suiten[a]$ est ainsi définie par $a_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = \ln(3a_n^2 + 2a_n)$. On note $\suiten[b]$ la suite définie par $b_0 = 10$ et pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1} = \ln(3b_n^2 + 2b_n)$. On admet que la suite $\suiten[b]$ est strictement décroissante et qu'elle converge vers $\alpha$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n \leqslant b_n$. \item On considère le script ci-dessous écrit en langage \textsf{Python}. \begin{CodePythonLstAlt}*[Largeur=10cm]{center} from math import * def algo(p) : a = 2 b = 10 n = 0 while b - a > 10**(-p) : a = log(3*a**2 + 2*a) b = log(3*b**2 + 2*b) n = n + 1 return (n, a) \end{CodePythonLstAlt} On rappelle qu'en langage \textsf{Python} : \begin{itemize} \item la commande \texttt{log(c)} renvoie la valeur de $\ln(c)$ ; \item la commande \texttt{a**2} renvoie la valeur de $a^2$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Donner les valeurs renvoyées par l'instruction \texttt{algo(2)}. \textit{On arrondira si besoin les valeurs au millième.} \item Interpréter les valeurs renvoyées dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate}