%bac2026gen-ce-juin-sujet1-exo4.tex % Script Python exercice 4 \begin{scontents}[overwrite,write-out=cee2026j1exo4.py] from math import * S = 1 / (2*exp(1)) for i in range(2, 10) : S = ... print(S) \end{scontents} On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$ par $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}$. On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de l'intervalle $\intervOO{0}{+\infty}$. \item Interpréter graphiquement les résultats obtenus. \end{enumerate} \item Pour tout réel strictement positif $x$, démontrer que : \[ f'(x) = \frac{1 - 2\ln(x)}{x^3} \] \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs exactes des éventuels extremums de la fonction. \item Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A$ d'abscisse $1$. \item Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$, on a : \[ f''(x) = \frac{-5 + 6\ln(x)}{x^4} \] \item \begin{enumerate} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ en précisant les coordonnées des éventuels points d'inflexion. \item En déduire que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervOF{0}{\e^{5/6}}$, on a $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$. \end{enumerate} \item Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $\intervFF{\e^{5/6}}{+\infty}$, on a aussi $x - 1 \geqslant \dfrac{\ln(x)}{x^2}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\suiten[I]$ définie, pour tout entier naturel non nul $n$, par : \[ I_n = \int_1^n \frac{\ln(x)}{x^2}\,\dx \] \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de $I_n$ pour $n$ un entier naturel non nul. \item Démontrer que la suite $\suiten[I]$ est croissante. \item On souhaite calculer une approximation de $\displaystyle\int_1^{10} f(x)\,\dx$ en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique ci-dessous. \begin{Centrage} \begin{GraphiqueTikz}[x=1cm,y=20cm,Xmin=0,Xmax=11.8,Xgrilles=1,Ymin=-0.04,Ymax=0.24,Ygrille=0.05,Ygrilles=0.05] \TracerAxesGrilles[Derriere]{0,1,...,11}{0,0.05,0.10,0.15,0.2} \DefinirCourbe[Nom=cf,Debut=0.5,Trace,Couleur=red]<f>{ln(x)/x^2} \RepresenterMethodeIntegrale[Couleur=teal,NbSubDiv=8,Opacite=0.5]<f>{2}{10} \draw[pflfigureintegr] (1,0) rectangle++ (1,{1/(2*exp(1))}) ; \TrouverMaximum[Debut=1,Fin=2]{f}[cf-max] \MarquerPts*[Couleur=blue,Style=x]{(cf-max)} \PlacerTexte[Police=\large,Couleur=red]{(10.5,0.0375)}{$\mathcal{C}_f$} \TracerAxesGrilles*[Devant,Origine]{0,1,...,11}{0,0.05,0.10,0.15,0.2} \end{GraphiqueTikz} \end{Centrage} Pour cela, on utilise le script suivant, écrit en langage \textsf{Python}. \medskip \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{cee2026j1exo4.py} \medskip Recopier et compléter ce script afin qu'il réponde au problème posé. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ : \[ I_n = \frac{n - 1 - \ln(n)}{n} \] \item Calculer la limite de la suite $\suiten[I]$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate}