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%bac2026gen-ce-juin-sujet1-exo3.tex On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous. \begin{Centrage} \begin{EnvTikzEspace} \PaveTikzTriDim[Cube,Largeur=3,AffLabel] \PlacePointsEspace{K/0,0,1.5/g I/1.5,0,3/bd J/0,1.5,3/hg} \MarquePointsEspace[StyleMarque=x]{I,J,K} \end{EnvTikzEspace} \end{Centrage} On munit l'espace du repère orthonormal $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$. Soit $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu de $[EH]$ et $K$ le milieu de $[AE]$. \begin{enumerate} \item Donner les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur du produit scalaire $\vect{AI} \cdot \vect{AJ}$. \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{IAJ}$ arrondie au dixième de degré. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{KC}$ est un vecteur normal au plan $(AIJ)$. \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(AIJ)$ est $x + y - \dfrac{1}{2}z = 0$. \end{enumerate} \item Soit $L$ le projeté orthogonal du point $C$ sur le plan $(AIJ)$. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point $L$. \item En déduire que la distance du point $C$ au plan $(AIJ)$ est égale à $\dfrac{4}{3}$. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point de la droite $(FG)$. On admet que les coordonnées de $M$ sont $(1;m;1)$ avec $m$ appartenant à $\mathbb{R}$. \begin{enumerate} \item Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $(IM)$ est : \[ \begin{cases} x = \dfrac{1}{2}s + \dfrac{1}{2} \\ y = ms \\ z = 1 \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R} \] \item Peut-on affirmer que les droites $(IM)$ et $(KC)$ sont coplanaires quelle que soit la valeur de $m$ ? \end{enumerate} \end{enumerate}
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