%bac2026gen-asie-juin-sujet2-exo1.tex \begin{scontents}[overwrite,write-out=ja2026j2exo1.py] def seuil(h) : n = 0 u = 0 while u < 1 - h : n = n + 1 u = (u - 2) / (2*u - 3) return n \end{scontents} % On pourra traiter indépendamment les deux parties de l'exercice. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\intervOO{-\infty}{\dfrac{3}{2}}$ par $f(x) = \dfrac{x-2}{2x-3}$. \begin{enumerate} \item Justifier tous les éléments du tableau de variation ci-dessous. \medskip \begin{Centrage} \begin{tikzpicture}[double distance=2pt] \tkzTabInit{$x$/1,$f$/2}{$-\infty$,$\dfrac{3}{2}$} \tkzTabVar{-/$\dfrac{1}{2}$,+D/$+\infty$/{}} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \item En déduire que pour tout $x \in [0;1]$, on a : $f(x) \in [0;1]$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère la suite $\suiten$ définie par : \[ \begin{cases} u_0 = 0 \\ u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{2u_n - 3}, \text{ pour tout entier naturel } n \end{cases} \] \begin{enumerate} \item En utilisant la fonction $f$, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : \[ 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 \] \item En déduire que la suite $\suiten$ converge. \item On note $l$ la limite de la suite $\suiten$. En admettant que $l$ est solution de l'équation $f(x) = x$ sur l'intervalle $[0;1]$, montrer que $l = 1$. \item On donne ci-dessous une fonction \AffVignette[Type=py]{seuil} écrite en langage \textsf{Python}. \medskip \CodePythonLstFichierAlt*[8cm]{center}{ja2026j2exo1.py} \medskip L'appel \AffVignette[Type=py]{seuil(0.0001)} renvoie la valeur $5\,000$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item \begin{enumerate} \item Donner les quatre premiers termes de la suite $\suiten$ sous forme de fractions irréductibles. \item Conjecturer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ et démontrer cette conjecture. \end{enumerate} \end{enumerate}