%bac2026gen-asie-juin-sujet1-exo4.tex \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ par :% \[ g(x) = x\cos(x) - \sin(x) \] On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ et on note $g'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$, on a $g'(x) = -x\sin(x)$. \item On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$ ci-dessous. Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations. \medskip \begin{Centrage} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/1,$g$/2}{$0$,$\pi$,$2\pi$} \tkzTabVar{+/$0$,-/$-\pi$,+/$2\pi$} \end{tikzpicture} \end{Centrage} \item Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $\intervFF{\pi}{2\pi}$ telle que $g(\alpha) = 0$. \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $\intervFF{0}{2\pi}$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ par : \[ f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ et on note $f'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$ on a : \[ f'(x) = \frac{g(x)}{x^2} \] \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $\intervOF{0}{2\pi}$. \item Déterminer la limite de $f$ en $0$. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en $0$. \end{enumerate} \item On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : $0 < r < s < \pi$. Montrer que : \[ \frac{r}{s} < \frac{\sin(r)}{\sin(s)} \] \end{enumerate}